11. Forme factorisée d'un polynôme du second degré

Introduction

On est parti pour voir finalement les racines. Elles servent à trouver quand est-ce que le polynôme vaut 0, mais elles servent aussi pour déterminer la forme factorisée d'un polynôme, c'est-à-dire pour le factoriser tout simplement, comme vous avez l'habitude de le faire depuis la 4e. Comment est-ce qu'on va faire ça ? Nos deux racines \(X1\) et \(X2\) nous permettent de dire que finalement un polynôme qui s'écrit \(ax^2 + bx + c\), une fois que j'aurai trouvé ces deux racines, je pourrais l'écrire sous la forme \(a(x - X1)(x - X2)\). En réalité, ces deux formes sont strictement égales. Donc, l'intérêt des racines, c'est de pouvoir mettre ce polynôme sous la forme factorisée.

Factorisation du polynôme

Il y a un nombre qui est quasiment cadeau, c'est le \(a\). Le \(a\) qu'on a ici, on va le retrouver. Donc je sais que ma forme factorisée de \(f(x)\) ça va être quelque chose du genre \(f(x) = a(x - X1)(x - X2)\). Il me reste plus qu'à trouver \(X1\) et \(X2\) en utilisant le discriminant. Mon Delta vaut \(b^2 - 4ac\), donc \(2^2 - 4 \times 2 \times -4\), donc ça me fait \(2^2 = 4\), \(4 \times 2 \times 8 = 32\), \(4 + 32 = 36\). C'est encore un carré parfait, les choses sont bien faites. On aime quand on a le delta qui sont des carrés parfaits. Donc mes deux racines, c'est \(X1 = -b - \sqrt{\Delta} / 2a\), donc \(-2 - \sqrt{36} / 2 \times 2\), ça me fait \(-2 - 6 = -8 / 4\), ça me fait \(-2\). Et mon \(X2\) il vaut \(-2 + \sqrt{36} / 2 \times 2\), \(-2 + 6 = 4\), \(4 / 4 = 1\). Donc je sais que mes racines c'est \(1\) et \(-2\). Du coup je vais remplacer \(X1\) par \(1\), donc je vais écrire \(x - X1\), donc \(x - 1\), et là j'ai écrit \(x - X2\), donc \(x + 2\). J'ai la forme factorisée de mon \(f(x)\).

Factorisation avec un discriminant nul ou négatif

Qu'est-ce qui se passe si le polynôme a un déterminant qui est nul ou c'est un déterminant qui est négatif ? Si le déterminant est négatif, vous ne pouvez tout simplement pas le factoriser parce que vous ne pourrez pas calculer la racine. Donc cette formule là elle ne marche que quand le delta est positif ou nul. Et qu'est-ce qui se passe quand le delta est nul ? C'est justement l'objet du deuxième exercice. On sait que notre polynôme, on va l'écrire \(a(x - X1)(x - X2)\). Le \(a\) est extrêmement facile à lire puisque le \(a\) c'est ce que je vais dire ici. Donc je peux déjà dire que mon \(g(x)\) c'est \(3(x - X1)(x - X2)\). Pour le calculer, je fais mon déterminant, mon discriminant \(\Delta\) qui vaut \(b^2 - 4ac\), donc \(36 - 4 \times 3 \times 3\), il vaut \(0\). Et du coup ma racine unique c'est \(X0 = -b / 2a\), donc \(-6 / 2 \times 3\), et ça me fait \(1\). Quand il y a une racine unique, on va juste écrire \(x - X0\), donc \(x - 1\). Finalement, \(x - 1 \times x - 1\), on va écrire \(g(x) = 3(x - 1)^2\). Vous remarquerez que c'est pour ça qu'on appelle ça une racine double, parce qu'il y a ce petit carré. On vous a mis plein d'exercices en dessous, entraînez-vous pour vous graver et surtout n'oubliez pas parce que c'est un truc dont on va se servir l'année prochaine. À vous de jouer, vous êtes des champions.