3. Maximum/minimum d'un polynôme du second degré

Introduction

Bonjour à tous, aujourd'hui on va étudier les variations d'un polynôme et déterminer son maximum ou son minimum. Cet exercice est vraiment un exercice type, c'est-à-dire que c'est un truc que vous allez retrouver à quasiment tous les contrôles. Cela rapporte beaucoup de points, ça se retrouve aux quatre coins mais sur trois ou quatre points, vous êtes censés être capables de faire ce que je vais faire juste à côté. Les variations d'un polynôme et le maximum et le minimum se font en trois étapes. La première étape va être de donner la forme factorisée. Pourquoi la forme factorisée ? On le verra par la suite. La deuxième étape, une fois qu'on a la forme factorisée, on fait le tableau de variation. Et une fois qu'on a fait le tableau de variation, on peut trouver le maximum ou le minimum. Dans cette vidéo, je vais vous détailler tout le calcul et toute la résolution de ces problèmes. Vous aurez les formules qui vont s'afficher à droite et vous pourrez les noter au fur et à mesure. Allez, c'est parti !

Forme factorisée

La première étape est de mettre le polynôme sous forme canonique. Ce qu'on reconnaît ici comme écriture, c'est la forme la plus standard du polynôme du second degré. C'est la plupart du temps le polynôme qui vous est donné sous cette forme, ça s'appelle la forme développée. Pour cette forme développée, vous devez apprendre à reconnaître qu'elle s'écrit comme \(ax^2 + bx + c\). Ces constantes \(a\), \(b\) et \(c\) sont les coefficients du polynôme. Une fois que vous avez identifié ces trois constantes, vous pouvez calculer \(\alpha\) en faisant \(-b / (2a)\). Ensuite, vous pouvez trouver \(\beta\) en remplaçant \(x\) par \(\alpha\) dans votre polynôme. Enfin, vous pouvez écrire la forme canonique en utilisant la formule \(f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta\).

Tableau de variation

Une fois que vous avez la forme canonique, vous pouvez dresser le tableau de variation de la fonction. Le fameux \(\alpha\) et le fameux \(\beta\) sont en fait les coordonnées du sommet du polynôme. Donc, vous savez grâce à ces coordonnées que votre polynôme va être soit croissant puis décroissant, soit décroissant puis croissant. Dans votre tableau de variation, vous savez que le changement de variation va se produire au niveau de \(\alpha\). Et ce qui va vous permettre de savoir si la fonction est d'abord croissante puis décroissante ou alors d'abord décroissante puis croissante, c'est le signe de \(a\). Quand \(a\) est positif, la fonction a la forme d'une parabole ouverte vers le haut. Quand \(a\) est négatif, la fonction a la forme d'une parabole ouverte vers le bas.

Maximum et minimum

Quand vous voulez parler de maximum ou minimum et que vous avez le tableau de variation, le travail est déjà complètement fini. En effet, on se rend bien compte dans ce tableau que la fonction part d'un point à l'infini, elle monte jusqu'à un certain point, puis elle descend. Donc, avec un tout petit peu de bon sens, vous êtes déjà capable de dire que ce point correspond à un maximum. Donc, juste avec ce tableau de variation, vous pouvez directement conclure en disant que ma fonction \(f(x)\) atteint un maximum de 4 quand \(x\) est égal à 1. Et c'est tout ce qu'on vous demande en termes de maximum ou minimum, c'est d'être capable de lire correctement ce tableau. Pour cet exercice type qu'on vient de faire, on a vu que quand on étudie les variations et le maximum et le minimum d'une fonction polynôme du second degré, on passe par trois étapes : la forme canonique, le tableau de variation et la conclusion sur si c'est un maximum ou un minimum.