17. Coordonnées des intersections de polynômes du 2nd degré et droites

Introduction

On est parti pour étudier des intersections de polynômes et de droites. C'est typiquement une question de contrôle : déterminer les coordonnées des points d'intersection de \(g(x)\) et \(h(x)\), où \(g(x)\) est un polynôme et \(h(x)\) est une droite. Je vous ai représenté \(g(x)\) en noir, \(h(x)\) en bleu et la droite en rouge. Il faut que vous vous habituiez à travailler sans représentation graphique.

Intersection de deux polynômes

Commençons par l'intersection de \(g(x)\) et \(h(x)\), la courbe noire et la courbe bleue. Graphiquement, vous voyez les points d'intersection. Admettons qu'on trouve l'abscisse du point d'intersection, qu'est-ce qui est particulier à ce nombre ? Quand je monte et que je passe par \(g(x)\), j'arrive à \(g(x)\) et quand je monte et que je passe par \(h(x)\), j'arrive à \(h(x)\). Pour ce point particulier, on a \(h(x) = g(x)\). Quand vous avez trouvé l'intersection de deux objets, que ce soit un polynôme et une droite ou un polynôme et un autre polynôme, vous devez vous demander : quand est-ce que l'un est égal à l'autre ? Autrement dit, quand est-ce que \(h(x) = g(x)\) ? On va résoudre cela. On remplace maintenant les expressions de \(g(x)\) et de \(h(x)\). On obtient une équation de polynôme égale à un autre. On va se débrouiller pour transformer cette équation en quelque chose égal à zéro.

Résolution de l'équation

On résout cette équation de deux manières : en utilisant le discriminant et les racines, ou avec une astuce plus simple. Pour ce polynôme, on n'a pas vraiment besoin du discriminant car on peut factoriser par \(x\). On obtient alors deux solutions pour \(x\), soit \(x = 0\) soit \(x = -1\). On a donc trouvé les abscisses des points d'intersection. Mais la question demande les coordonnées des points d'intersection et pas seulement leurs abscisses. Il va aussi falloir trouver les ordonnées de ces deux points. Pour cela, on a deux options : soit on passe par la fonction \(h(x)\), soit on passe par la fonction \(g(x)\). On sait que, que l'on passe par l'une ou par l'autre, on va arriver au même résultat.

Conclusion

Pour trouver l'intersection de deux points, on se demande quand est-ce que le polynôme est égal à l'autre polynôme ou quand est-ce que le polynôme est égal à la droite. On résout l'équation qui va nous donner l'abscisse des points et une fois qu'on a ces abscisses, pour avoir les ordonnées, on n'a plus qu'à les prendre et à les remettre dans la fonction. Cela nous donne les coordonnées du point. Maintenant, à vous de jouer avec les exercices en dessous.