Contrôle Corrigé de Mathématiques : Première STI2D (Sujet 1)

Ce document propose une analyse détaillée et le corrigé d'un devoir commun de mathématiques de niveau Première STI2D. Le sujet balaye plusieurs chapitres clés du programme : les automatismes, les polynômes du second degré, les suites arithmétiques et géométriques, ainsi que la dérivation globale des fonctions. Ce corrigé est idéal pour les élèves souhaitant s'entraîner, comprendre leurs erreurs et préparer efficacement leurs futures évaluations.

Mots clés : Contrôle corrigé, Sujet de maths, Première STI2D, polynômes du second degré, suites numériques, dérivation, fonctions, exercice corrigé, automatismes.

Partie A : Automatismes (QCM)

Cette première partie est un questionnaire à choix multiples (QCM) de 6 questions visant à évaluer la maîtrise des savoir-faire de base. Aucune justification n'est demandée, mais une bonne compréhension des concepts est essentielle.

• Question 1 : Taux d'évolution. On calcule le taux d'évolution d'un abonnement passant de 25 € à 30 €. La formule est \( t = \frac{V_f - V_i}{V_i} \). Le calcul donne \( \frac{30 - 25}{25} = \frac{5}{25} = 0,2 \), soit une augmentation de 20%.
• Question 2 : Évolutions successives. Il s'agit de comprendre l'impact d'une baisse de 30% suivie d'une hausse de 30%. Les coefficients multiplicateurs sont \(C_1 = 1 - 0,30 = 0,7\) et \(C_2 = 1 + 0,30 = 1,3\). Le coefficient global est \(C = C_1 \times C_2 = 0,7 \times 1,3 = 0,91\).
• Question 3 : Équation du premier degré. Résolution de l'équation simple \(3x - 7 = 5x + 4\). En isolant \(x\), on trouve \( -11 = 2x \), donc \( x = -5,5 \).
• Question 4 : Puissances. Calcul de \((2 \times 10^{-3})^2\). En utilisant les propriétés des puissances, on obtient \(2^2 \times (10^{-3})^2 = 4 \times 10^{-6}\).
• Question 5 : Dérivée d'un polynôme. La dérivée de la fonction \(f(x) = x^2 - 6x\) est demandée. En appliquant les formules de dérivation, on a \(f'(x) = 2x - 6\).
• Question 6 : Suite arithmétique. Pour une suite arithmétique de premier terme \(u_0 = 12\) et de raison \(r = -3\), on cherche \(u_{10}\). La formule du terme général est \(u_n = u_0 + n \times r\). Donc, \(u_{10} = 12 + 10 \times (-3) = 12 - 30 = -18\).

Partie B - Exercice 1 : Puissance d'un panneau solaire

Cet exercice se concentre sur l'étude d'une fonction polynôme du second degré modélisant la puissance d'un panneau solaire en fonction de la tension \(U\). La fonction est \(P(U) = -0,5U^2 + 18U\) sur l'intervalle \([0; 36]\).

• Question 1 : Il fallait calculer des images : \(P(10) = -0,5(10)^2 + 18(10) = -50 + 180 = 130\) W et \(P(30) = -0,5(30)^2 + 18(30) = -450 + 540 = 90\) W.
• Question 2 : La résolution de l'équation \(P(U) = 0\) (\( -0,5U^2 + 18U = 0 \)) se fait par factorisation : \(U(-0,5U + 18) = 0\). Les solutions sont \(U=0\) et \(U=36\). Elles correspondent aux tensions pour lesquelles le panneau ne produit aucune puissance.
• Question 3 : Pour trouver la puissance maximale, on cherche le sommet de la parabole. L'abscisse du sommet est \( \alpha = -\frac{b}{2a} = -\frac{18}{2 \times (-0,5)} = 18 \) V. La puissance maximale est alors \(P(18) = -0,5(18)^2 + 18(18) = 162\) W.
• Question 4 : Le tableau de variations de \(P\) sur \([0; 36]\) montre que la fonction est croissante sur \([0; 18]\) et décroissante sur \([18; 36]\), avec un maximum de 162 atteint en \(U=18\).
• Question 5 : Il s'agissait de résoudre l'inéquation \(P(U) \ge 112\). L'énoncé guide en donnant la forme factorisée \(P(U) - 112 = -0,5(U - 8)(U - 28)\). Un tableau de signe permet de conclure que la puissance est d'au moins 112 W pour une tension \(U\) dans l'intervalle \([8; 28]\).

Partie B - Exercice 2 : Consommation d'un centre de données

Cet exercice aborde les suites numériques à travers deux scénarios d'évolution de la consommation électrique d'un data center.

• Scénario 1 (hausse) : La consommation initiale est \(u_0 = 800\) MWh et augmente de 6% par an. Il s'agit d'une suite géométrique de raison \(q = 1 + 0,06 = 1,06\). La relation de récurrence est \(u_{n+1} = 1,06 \times u_n\) et la forme explicite est \(u_n = 800 \times (1,06)^n\). On cherche ensuite l'année où la consommation dépasse 1000 MWh en résolvant \(u_n > 1000\).
• Scénario 2 (baisse) : Un plan de sobriété prévoit une réduction de 30 MWh par an. C'est une suite arithmétique de premier terme \(v_0 = 800\) et de raison \(r = -30\). On peut alors calculer n'importe quel terme, comme \(v_5\), et comparer l'économie réalisée par rapport au premier scénario.

Partie B - Exercice 3 : Vol d'un drone d'inspection

Le dernier exercice porte sur l'étude complète d'une fonction polynôme du troisième degré, \(h(t) = -t^3 + 9t^2 - 15t + 20\), modélisant l'altitude d'un drone.

• Question 1 & 2 : Le calcul de la dérivée est une étape clé : \(h'(t) = -3t^2 + 18t - 15\). L'énoncé aide en donnant sa forme factorisée : \(h'(t) = -3(t-1)(t-5)\).
• Question 3 : L'étude du signe de la dérivée \(h'(t)\) (qui est un trinôme du second degré) permet de dresser le tableau de variations de \(h\). La dérivée est négative à l'extérieur de ses racines (1 et 5), donc \(h\) est décroissante sur \([0,1]\) et \([5,7]\), et croissante sur \([1,5]\).
• Question 4 : Le tableau de variations permet d'identifier les extremums. Le drone est au plus bas à \(t=1\) (altitude \(h(1)=13\) m) et au plus haut à \(t=5\) (altitude \(h(5)=45\) m). Il faut aussi vérifier les bornes de l'intervalle.
• Question 5 : La dernière question demande l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 3. On utilise la formule \(y = h'(3)(t-3) + h(3)\). On calcule \(h(3) = 35\) et \(h'(3) = 12\). L'équation est donc \(y = 12(t-3) + 35\), soit \(y=12t - 1\). Le coefficient directeur de la tangente, \(h'(3)=12\), représente la vitesse verticale instantanée du drone (en m/min) à l'instant \(t=3\).