Première partie : Automatismes (QCM)

Cette première partie de ce sujet de bac blanc de maths évalue des compétences de base essentielles à travers un Questionnaire à Choix Multiples. Les questions de ce contrôle corrigé couvrent divers domaines pour le niveau Première STI2D :

• Pourcentages : Questions 1 et 2 sur les évolutions successives et le calcul d'une valeur initiale. Par exemple, pour deux augmentations de 10%, le coefficient multiplicateur global est \(1,1 \times 1,1 = 1,1^2 = 1,21\).
• Calcul numérique : Questions 4 et 5 sur les puissances (\(4^{-8} = \frac{1}{4^8}\)) et la simplification de fractions.
• Proportions : Question 6 demandant de comparer deux proportions (\(\frac{1}{3}\) et \(\frac{2}{7}\)).
• Lecture graphique : Question 9 où il faut résoudre graphiquement une inéquation \(f(x) \geq g(x)\) en observant la position relative des courbes.
• Fonctions affines : Question 11 qui consiste à associer un tableau de signe à la bonne expression de fonction affine.
• Manipulation d'expressions : Questions 8 (traduction d'une phrase en expression littérale) et 12 (isoler une variable dans une formule).

Exercice 1 : Probabilités Conditionnelles et Variables Aléatoires

Cet exercice est un problème classique de probabilités qui se décompose en deux parties, mobilisant les arbres pondérés et la notion de variable aléatoire.

Partie 1 : Étude du test

On modélise la situation à l'aide d'un arbre de probabilités. Les données se traduisent par \(P(S) = 0,1\), \(P(T|S) = 0,9\) et \(P(\bar{T}|\bar{S}) = 0,8\).

• On calcule d'abord la probabilité que le site soit pollué et le test positif, soit \(P(S \cap T) = P(S) \times P(T|S) = 0,1 \times 0,9 = 0,09\).
• Pour trouver la probabilité que le test soit positif, \(P(T)\), on utilise la formule des probabilités totales : \(P(T) = P(S \cap T) + P(\bar{S} \cap T)\). On a \(P(\bar{S}) = 1 - 0,1 = 0,9\) et \(P(T|\bar{S}) = 1 - P(\bar{T}|\bar{S}) = 1 - 0,8 = 0,2\). Donc \(P(\bar{S} \cap T) = 0,9 \times 0,2 = 0,18\). Finalement, \(P(T) = 0,09 + 0,18 = 0,27\), ce qui correspond bien à \(\frac{27}{100}\).
• On termine en calculant une probabilité conditionnelle "inversée" : la probabilité qu'un site soit réellement pollué sachant que le test est positif, \(P(S|T) = \frac{P(S \cap T)}{P(T)} = \frac{0,09}{0,27} = \frac{1}{3}\).

Partie 2 : Étude des coûts de dépollution

Cette partie introduit une variable aléatoire \(X\) représentant le coût engagé.

• Les valeurs possibles de \(X\) sont 100€ (test positif), 1000€ (pollué mais test négatif), et 0€ (non pollué et test négatif).
• On établit la loi de probabilité de \(X\) :
  \(P(X=100) = P(T) = 0,27\).
  \(P(X=1000) = P(S \cap \bar{T}) = P(S) \times P(\bar{T}|S) = 0,1 \times (1-0,9) = 0,01\).
  \(P(X=0) = P(\bar{S} \cap \bar{T}) = P(\bar{S}) \times P(\bar{T}|\bar{S}) = 0,9 \times 0,8 = 0,72\).
• On calcule l'espérance mathématique de \(X\) : \(E(X) = 100 \times P(X=100) + 1000 \times P(X=1000) + 0 \times P(X=0) = 100 \times 0,27 + 1000 \times 0,01 = 37\). Le coût moyen de test et de dépollution par site est de 37€.

Exercice 2 : Analyse de fonction et dérivation

Cet exercice porte sur la lecture graphique des propriétés d'une fonction et l'étude complète d'une fonction polynôme.

Partie 1 : Lecture graphique

• La courbe passe par le point A(0; -6), donc \(f(0) = -6\).
• Le nombre dérivé \(f'(0)\) est le coefficient directeur de la tangente en A, qui passe par B(2; 4). On le calcule : \(f'(0) = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{4 - (-6)}{2 - 0} = 5\).
• L'équation de la tangente \(T_A\) est de la forme \(y = f'(0)x + f(0)\), soit \(y = 5x - 6\).

Partie 2 : Étude d'une fonction polynôme

On étudie la fonction \(g(x) = x^3 - 3x^2 - 45x + 201\).

• On calcule sa fonction dérivée : \(g'(x) = 3x^2 - 6x - 45\). En développant l'expression donnée \(3(x+3)(x-5)\), on retombe sur \(g'(x)\), ce qui valide la formule.
• Le signe de \(g'(x)\) est celui d'un polynôme du second degré, positif à l'extérieur de ses racines (-3 et 5) et négatif entre.
• On en déduit le tableau de variation de \(g\) : croissante sur \([-5, -3]\), décroissante sur \([-3, 5]\), et croissante sur \([5, 7]\).

Exercice 3 : Vrai ou Faux (Suites et Polynômes)

Ce dernier exercice teste la capacité à justifier des affirmations sur les suites arithmétiques et les polynômes du second degré.

• Affirmation 1 : FAUSSE. Pour une suite arithmétique de raison \(r=-7\) et avec \(u_{10}=12\), on calcule \(u_{50}\) avec la forme explicite : \(u_{50} = u_{10} + (50-10) \times r = 12 + 40 \times (-7) = -268\).
• Affirmation 2 : VRAIE. On a \(u_{102} = u_{100} + 2r\). Donc \(20 = 10 + 2r\), ce qui donne \(2r = 10\) et \(r=5\).
• Affirmation 3 : VRAIE. On calcule \(f(2) = 2^3 - 2(2^2) - 3(2) + 6 = 8 - 8 - 6 + 6 = 0\). Donc 2 est bien une racine.
• Affirmation 4 : VRAIE. Pour le polynôme \(f(x) = x^2 - 4x + 5\), on calcule le discriminant \(\Delta = (-4)^2 - 4(1)(5) = -4\). Comme \(\Delta < 0\) et \(a=1>0\), le polynôme est toujours positif.