12. Tableau de signe d'un polynôme du second degré

Introduction

Dans cette leçon, nous allons voir comment dresser le tableau de signe d'un polynôme en utilisant les racines. Cela sera particulièrement utile dans les exercices où on vous donne deux fonctions, par exemple \(2x^2 + 2x - 4\) et \(3x^2 - 16 + 3\), et qu'on vous demande de faire un tableau de signe.

Utilisation des racines pour le tableau de signe

Pour ces fonctions, nous avons déjà les racines. Je vous rappelle les racines que nous avons trouvées dans l'exercice précédent : pour la première fonction, nous avons \(X1 = -2\) et \(X2 = 1\). Pourquoi est-ce intéressant d'avoir les racines ? Parce que chaque fois que vous faites un tableau, que ce soit un tableau de variation ou un tableau de signe, vous devez vous demander ce qui va changer le signe. Autrement dit, on va passer de plus à moins. Mais si je passe de plus à moins, c'est que je vaux combien ? Si j'ai une fonction continue, forcément je passe par 0. Donc les racines, c'est-à-dire les endroits où le polynôme va valoir 0, je peux déjà les positionner.

Interprétation du tableau de signe

La question qu'on peut se poser c'est : est-ce que mon polynôme va plutôt avoir une forme ascendante puis descendante puis ascendante, ou alors une forme descendante puis ascendante puis descendante ? Pour le savoir, on regarde le signe de \(a\). Si \(a\) est positif, alors le polynôme est d'abord positif, puis négatif, puis de nouveau positif. Dans le cas où on a une racine simple, par exemple \(X0 = 1\), on sait que le polynôme est positif avant et après cette racine. Pour un polynôme qui n'a pas de racine, il n'y aura pas de barre dans le tableau. Si \(a\) est positif, vous aurez un grand plus, et si \(a\) est négatif, vous aurez un grand moins. Entraînez-vous avec les exercices proposés pour maîtriser la création de ces tableaux de signe. C'est la base de tout ce qui vous attend après. À vous de jouer, vous êtes des champions !