13. Résoudre une inéquation avec un polynôme du second degré

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir comment résoudre des inéquations avec des polynômes du second degré. Des inéquations, ça veut dire des équations sauf qu'on a remplacé le signe égal par un plus grand, plus petit, strictement plus grand, strictement plus petit. On se fait directement deux cas ultra intéressants.

Premier cas

Le premier cas, c'est ce polynôme. Pour résoudre une équation avec un polynôme, vous êtes obligé de passer par un tableau de signe. Il n'y a aucun autre moyen que de passer par un tableau de signe. Pour faire le tableau de signe, vous connaissez les étapes, on les a vu dans la compétence précédente. Il faut calculer le discriminant et les deux racines. Moi, cette étape là, je vous l'offre. Les deux racines de ce polynôme là, c'est \(x = - 2\) et \(x = 1\). Vous savez que les racines, c'est les valeurs qui annulent le polynôme. Donc mon polynôme \(2x^2 - 2x - 4\) il vaudra 0 ici et 0 ici. Il ne me reste plus qu'à calculer le signe. Pour ça, je regarde le signe de \(a\) qui est positif. Donc moi, je dis que je prends le signe de \(a\) à l'extérieur des racines. Donc je vais mettre du positif à l'extérieur, c'est à dire dans cette zone là et dans cette zone là. Donc je mets du positif ici, du positif ici et donc du négatif là et je justifie en disant car \(a\) est positif. Je l'écris ici, \(a\) est positif. Ok, formidable, j'ai calculé mes deux racines et j'ai fait mon tableau aussi. Maintenant, je réfléchis, je veux que ce polynôme là soit positif. Je regarde mon tableau, il est positif ici et ici. Autrement dit, le polynôme est positif quand \(X\) est dans cette zone là, ici et ici. Autrement dit, entre \(-\infty\) et \(-2\) et entre \(1\) et \(+\infty\). Donc je vais dire que les solutions, c'est l'ensemble qui va de \(-\infty\) jusqu'à \(-2\) et cet ensemble là, je vais l'ajouter, le joindre, faire une union avec l'ensemble qui va de \(1\) jusqu'à \(+\infty\). Pourquoi est-ce que j'ai pas mis les crochets au niveau du \(-2\) et du \(1\) ? Parce que c'est là quelle est la difficulté. Vous voulez que ça soit strictement plus grand que 0. Autrement dit, vous ne voulez pas que la valeur 0 soit comprise dans votre solution. Or, quand \(x = -2\), elle vaut 0. Donc en fait, \(-2\), j'en veux pas. Tout simplement, je veux pas du moins de du coup le \(-2\), je vais l'exclure en mettant un crochet vers l'extérieur. Pareil pour le \(1\), quand \(x\) vaut \(1\), mon polynôme vaut 0. Or, je veux que ce soit strictement plus grand que 0. Donc je vais exclure moins et c'est terminé. Je peux encadrer donc déterminant discriminant, les racines, le tableau signe. Une fois que j'ai mon tableau aussi, je regarde dans le tableau signe, quand est-ce que mon polynôme est du bon signe et je conclus en ne me trompant pas sur les intervalles.

Deuxième cas

On se fait un deuxième exemple tout de suite. Ce polynôme là, quand je vais calculer son discriminant, j'ai obtenu un delta qui vaut 0. Donc une seule racine, une racine double qui est \(X_0 = 1\). Donc moi, je sais que quand \(x\) vaudra \(1\), mon polynôme, que j'ai pas à la fois de recopier, il vaudra zéro. Je m'interroge sur le signe, je regarde le signe de \(a\), il est positif. Je me mets à l'extérieur des racines, donc dans cette zone là, dans cette zone là. Je mets un grand plus, je mets mes petits infinis et hop, mon tableau de signe est terminé. C'est aussi simple que ça, vous voyez que c'est vraiment un truc débile quoi, il y a rien de compliqué là dedans. Et maintenant, je réfléchis, quand est-ce qu'il est strictement positif ? Bah là, dans toute cette zone là, il est positif et puis dans toute cette zone là, il est positif. La question, c'est est-ce que là, est-ce que ce chiffre-là, est-ce que \(1\), on veut le garder ou pas ? Bah nous, on veut que ça soit strictement plus grand que zéro. Or en \(1\), le polynôme, il vaut 0. Du coup \(1\), j'en veux pas. Pour présenter la solution, il va donc falloir que je fasse un intervalle qui va de \(-\infty\) jusqu'à \(1\), de \(-\infty\) jusqu'à \(1\), les infinis sont toujours exclus. \(1\), je l'exclus et je recommence juste après, donc de \(1\) exclu jusqu'à \(+\infty\) et c'est terminé. Il manque quoi, la petite justification sur le signe, car \(a\) est positif et vous avez fait votre première inéquation avec des polynômes du second degré. On vous en a mis plein en dessous, à vous de jouer, vous êtes des champions.