Ce sujet de contrôle de mathématiques pour la classe de Première spécialité (Sujet 43) est une évaluation complète portant sur trois chapitres centraux du programme : les polynômes du second degré, la trigonométrie et les suites numériques. D'une durée de 2 heures, ce devoir autorise la calculatrice et est conçu pour tester la capacité des élèves à appliquer leurs connaissances théoriques à des problèmes variés, allant de la modélisation géométrique à l'analyse de données concrètes.

Ce document est une ressource idéale pour les élèves souhaitant s'entraîner en conditions réelles, ainsi que pour les enseignants à la recherche d'un sujet de maths type bac pour leurs élèves de Première. Il couvre un large spectre de compétences exigibles à ce niveau.

Exercice 1 : Modélisation et optimisation (Polynômes du second degré)

Cet exercice est un problème d'optimisation classique et complet. On part d'une figure géométrique : un triangle isocèle ABC dans lequel est inscrit un rectangle EFGH. L'objectif est d'étudier l'aire de ce rectangle en fonction de l'une de ses dimensions.

• Modélisation : La première étape consiste à exprimer l'aire du rectangle, notée \(s(x)\), en fonction de la longueur \(x = HE\). Pour y parvenir, l'élève doit mobiliser plusieurs outils géométriques : le théorème de Pythagore pour calculer la hauteur du triangle, puis le théorème de Thalès pour relier les dimensions du rectangle à celles du triangle. Au terme du calcul, on aboutit à l'expression d'un polynôme du second degré : \(s(x) = -\frac{2}{3}x^2 + 8x\).
• Analyse de la fonction polynôme : Une fois l'expression de \(s(x)\) trouvée, l'exercice explore toutes les facettes de l'étude d'une fonction du second degré :
  • Détermination de l'ensemble de définition de la fonction dans le contexte du problème.
  • Calcul d'image pour vérifier l'appartenance d'un point à la courbe.
  • Recherche de la forme factorisée du polynôme et de ses racines.
  • Détermination du maximum de l'aire, ce qui revient à trouver les coordonnées du sommet de la parabole représentative de la fonction \(s\). Le calcul de l'abscisse du sommet, \(x = -\frac{b}{2a}\), est ici essentiel.
  • Construction du tableau de variation de la fonction \(s\), qui synthétise sa croissance et sa décroissance.
• Résolution d'inéquation : La dernière question demande de trouver pour quelles valeurs de \(x\) l'aire du rectangle est supérieure à un certain seuil (16 cm²). Cela se traduit par la résolution de l'inéquation du second degré \(s(x) > 16\), nécessitant l'étude du signe d'un trinôme.

Exercice 2 : Équations du second degré avec paramètre

Cet exercice se concentre sur l'analyse de l'équation \(2x^2 + bx + 3 = 0\), où \(b\) est un paramètre réel. L'objectif est de déterminer les conditions sur \(b\) pour contrôler le nombre et le signe des solutions.

• Utilisation du discriminant : Le cœur de l'exercice repose sur le calcul et l'étude du signe du discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac = b^2 - 24\).
  • Pour que l'équation admette une racine unique, il faut résoudre \(\Delta = 0\).
  • Pour qu'elle admette deux racines distinctes, il faut résoudre l'inégalité \(\Delta > 0\).
  • Pour qu'elle n'admette aucune racine réelle, il faut résoudre \(\Delta < 0\).
• Signe des racines : Dans le cas où il y a deux racines distinctes, l'exercice demande de discuter de leur signe. Cette question fait appel aux relations entre les coefficients et les racines : la somme \(S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\) et le produit \(P = x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\). L'étude du signe de S et P permet de conclure sur le signe des deux racines.

Exercice 3 : QCM de Trigonométrie

Ce QCM (Questionnaire à Choix Multiples) balaye rapidement un grand nombre de connaissances et de savoir-faire fondamentaux en trigonométrie. Chaque réponse doit être justifiée.

• Angles associés et cercle trigonométrique : Plusieurs questions testent la maîtrise des formules des angles associés (par exemple, \(\cos(x+\frac{\pi}{2})\)) et la capacité à se repérer sur le cercle trigonométrique (symétrie par rapport à l'origine).
• Parité des fonctions : Une partie importante du QCM est dédiée à l'étude de la parité de fonctions. Il s'agit de déterminer si des fonctions comme \(f(x) = \sin(x)\cos(x)\) ou \(g(x) = \frac{1}{\cos(x)+2}\) sont paires, impaires ou ni l'un ni l'autre, par le calcul (\(f(-x)\)) ou par lecture graphique.
• Équations trigonométriques : La résolution d'équations de base comme \(\cos(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) sur un intervalle donné est également évaluée, demandant une bonne connaissance des valeurs remarquables et du cercle trigonométrique.
• Identités fondamentales : Les relations de base comme \(\cos(-x) = \cos(x)\) et l'implication logique entre \(\sin(a)=0\) et la valeur de \(\cos(a)\) sont vérifiées.

Exercice 4 : Étude d'une suite arithmétique

Ce dernier exercice ancre l'étude des suites dans un contexte concret : le suivi du nombre de visiteurs d'un parc d'attractions. On modélise cette évolution par une suite numérique \((u_n)\).

• Identification d'une suite arithmétique : La première question consiste à vérifier si les premières données forment une suite arithmétique en calculant la différence entre les termes consécutifs. Cela permet d'introduire le modèle de croissance linéaire.
• Formules de la suite : L'élève doit ensuite manipuler les deux expressions d'une suite arithmétique : la forme récurrente (\(u_{n+1} = u_n + r\)) et la forme explicite (\(u_n = u_0 + nr\)).
• Calculs et prévisions : La forme explicite est utilisée pour calculer des termes de rangs éloignés (par exemple, \(u_{11}\)) et pour faire des prévisions.
• Algorithmique : Une question demande de compléter une fonction Python qui calcule un terme de rang \(n\), liant ainsi les mathématiques à l'informatique.
• Seuil et somme : Le problème se termine par deux applications classiques :
  • La résolution d'une inéquation (\(u_n > 2000\)) pour déterminer à partir de quand un seuil sera dépassé.
  • Le calcul de la somme des termes d'une suite arithmétique pour déterminer le nombre total de visiteurs sur une période donnée.

En somme, ce contrôle corrigé de Première Spécialité est un excellent outil de révision qui permet de s'assurer de la maîtrise des compétences sur les polynômes, la trigonométrie et les suites arithmétiques.