Découvrez un sujet complet de contrôle de mathématiques pour le niveau Première spécialité, idéal pour réviser et s'entraîner. Ce sujet, d'une durée de 2 heures, couvre quatre chapitres essentiels du programme : les polynômes du second degré, la dérivation, les probabilités conditionnelles et les généralités sur les suites. Chaque exercice est conçu pour évaluer des compétences spécifiques et la capacité à appliquer les concepts théoriques à des problèmes concrets. La calculatrice est autorisée pour ce sujet type bac.

Exercice 1 : Vrai ou Faux (6 points)

Cet exercice de type "Vrai ou Faux" avec justification teste la maîtrise des fondamentaux sur plusieurs chapitres. Il est divisé en trois parties indépendantes.

• Partie A : Polynômes du second degré. On étudie la fonction \(f\) définie par sa forme canonique \(f(x) = 0,5(x - 2)^2 - 8\). La première affirmation demande de vérifier si sa forme factorisée est bien \(f(x) = 0,5(x + 10)(x - 6)\), ce qui implique de savoir manipuler les différentes formes d'un trinôme. La seconde affirmation porte sur l'intersection de la parabole avec l'axe des ordonnées, un test simple de calcul d'image en \(x=0\).
• Partie B : Dérivation. Cette partie concerne la fonction inverse \(g(x) = \frac{1}{2x}\). Il faut d'abord utiliser le nombre dérivé \(g'(1)\) pour déterminer l'ordonnée à l'origine de la tangente à la courbe au point d'abscisse 1. Ensuite, il s'agit de calculer le taux d'accroissement de \(g\) entre 3 et \(3+h\), revenant à la définition même du nombre dérivé. Enfin, on doit calculer la valeur exacte du nombre dérivé de \(g\) en 3.
• Partie C : Position relative de deux paraboles. On considère deux paraboles d'équations \(y = -3x^2+4x-1\) et \(y = -x^2-8x+12\). L'affirmation propose qu'elles n'ont aucun point d'intersection. Pour le vérifier, il faut poser l'égalité des deux expressions et résoudre l'équation du second degré obtenue. Le signe du discriminant \(\Delta\) déterminera le nombre de solutions, et donc de points d'intersection.

Exercice 2 : Probabilités Conditionnelles (4 points)

Cet exercice classique de probabilités conditionnelles se situe dans le contexte d'une bibliothèque. Les données concernent des romans policiers et de science-fiction, ainsi que la nationalité de leurs auteurs. Il faut modéliser la situation pour répondre aux questions.

• La première étape est de calculer une probabilité simple, celle de choisir un roman policier.
• Il est ensuite demandé de construire un arbre pondéré pour représenter toutes les informations de l'énoncé. C'est une compétence centrale de ce chapitre.
• À l'aide de l'arbre, on calcule la probabilité d'une intersection : choisir un roman policier écrit par un auteur français, soit \(P(P \cap F)\).
• L'étape suivante consiste à utiliser la formule des probabilités totales pour montrer que la probabilité de choisir un ouvrage d'un auteur français est de 0,475.
• Enfin, l'exercice se termine par un calcul de probabilité conditionnelle "inversée" : la probabilité qu'un livre soit un roman policier, sachant que l'auteur est français, soit \(P_F(P)\).

Exercice 3 : Suites Numériques (4 points)

Cet exercice aborde l'étude de deux types de suites.

1. La première suite est explicite, définie par \(u_n = 7n^2 - 2n + 3\). Il faut démontrer qu'elle est croissante, ce qui peut se faire en étudiant le signe de \(u_{n+1} - u_n\) ou en s'appuyant sur les variations de la fonction polynôme associée. Puis, on doit résoudre l'inéquation du second degré \(u_n \ge 360\) pour trouver le premier rang à partir duquel le terme dépasse ce seuil.
2. La seconde suite est définie par récurrence : \(v_0 = 1\) et \(v_{n+1} = \frac{v_n}{2} + 1\). C'est une suite arithmético-géométrique. On demande d'abord de conjecturer son sens de variation et sa limite à l'aide de la calculatrice. Puis, il faut compléter un algorithme en Python qui détermine le plus petit entier \(n\) pour lequel \(v_n\) dépasse une certaine valeur (seuil de 1,999).

Exercice 4 : Problème d'optimisation (3 points)

Cet exercice est un problème concret modélisé par une fonction polynôme du second degré. On étudie la propagation d'une maladie à l'aide de la fonction \(f(t) = -30t^2 + 1200t + 4000\), où \(t\) est le temps en jours.

• La première question est un simple calcul d'image pour trouver le nombre de personnes infectées après 15 jours.
• Ensuite, il faut étudier les variations de la fonction \(f\). S'agissant d'un polynôme du second degré avec un coefficient dominant négatif, sa courbe est une parabole tournée vers le bas. Le calcul du sommet de la parabole (\(\alpha = -\frac{b}{2a}\)) permet de déterminer le moment où l'épidémie atteint son pic (son maximum).
• La dernière partie est une mise en situation. Pour savoir pendant combien de temps les crèches seront fermées, il faut déterminer l'intervalle de temps durant lequel au moins 10% de la population (130 000 habitants) est touchée. Cela revient à résoudre l'inéquation du second degré \(f(t) \ge 13000\), qui se simplifie en \(t^2 - 40t + 300 \le 0\).

Exercice 5 : Étude de fonction et tangente (3 points)

Le dernier exercice est une analyse de fonction cubique, \(f(x) = -x^3 + x^2\), avec un focus sur les tangentes.

• La première question est une lecture graphique de l'équation réduite de la tangente \((T)\) à la courbe au point d'abscisse -1.
• La seconde question demande de démontrer par le calcul qu'une droite donnée \((D)\) d'équation \(y = -x + 1\) est bien la tangente à la courbe en un certain point A, dont il faut trouver les coordonnées. Cela nécessite de résoudre \(f'(a) = -1\) pour trouver l'abscisse du point de tangence, puis de vérifier que l'équation de la tangente correspond.
• Enfin, à l'aide d'une factorisation fournie par un logiciel de calcul formel, \(f(x) - (-x+1) = -(x-1)^2(x+1)\), il faut étudier la position relative de la courbe \((C)\) par rapport à sa tangente \((D)\). Le signe de cette expression permet de savoir quand la courbe est au-dessus ou en dessous de sa tangente.