10. Résoudre une équation avec cosinus dans ℝ

Introduction

Dans cette leçon, nous allons résoudre des équations avec le cosinus. Je vous ai donné deux équations et je vous demande de les résoudre dans \(\mathbb{R}\). Quelle est la procédure pour résoudre des équations avec le cosinus ? La première étape consiste à transformer l'équation en une équation du type \(\cos(x) = \cos(a)\), où \(a\) est un certain nombre. Ensuite, nous allons résoudre cette équation.

Première équation

Commençons par l'équation \(\cos(x) = \sqrt{2}/2\). Nous devons trouver à quel angle nous pouvons associer \(\sqrt{2}/2\). Pour cela, nous utilisons les angles principaux : \(\pi/3\), \(\pi/4\), \(\pi/6\). Parmi tous ces angles, y en a-t-il un pour lequel le cosinus vaut \(\sqrt{2}/2\) ? En fait, \(\cos(\pi/4) = \sqrt{2}/2\). Donc, nous pouvons écrire que \(\cos(x) = \cos(\pi/4)\). À ce stade, nous pourrions être tentés de dire que \(x = \pi/4\) et que c'est terminé. Cependant, nous devons nous rappeler que nous cherchons toutes les valeurs de \(x\) qui donnent un cosinus de \(\sqrt{2}/2\). En plus de \(\pi/4\), nous avons aussi \(-\pi/4\). Donc, les solutions sont \(\pi/4\) et \(-\pi/4\), ou autrement dit, \(\pm \pi/4\). Mais ce n'est pas tout. Nous devons aussi prendre en compte toutes les autres valeurs de \(x\) qui donnent un cosinus de \(\sqrt{2}/2\). Pour cela, nous ajoutons un certain nombre de fois \(2\pi\) à nos solutions, où \(k\) est un entier relatif. Donc, les solutions complètes sont \(\pm \pi/4 + 2k\pi\), où \(k \in \mathbb{Z}\).

Deuxième équation

Passons maintenant à l'équation \(\cos(x) = -\sqrt{3}/2\). Nous devons trouver à quel angle nous pouvons associer \(-\sqrt{3}/2\). Pour cela, nous utilisons les mêmes angles principaux que précédemment. Parmi ces angles, \(\cos(5\pi/6) = -\sqrt{3}/2\). Donc, nous pouvons écrire que \(\cos(x) = \cos(5\pi/6)\). Comme pour la première équation, nous pourrions être tentés de dire que \(x = 5\pi/6\) et que c'est terminé. Cependant, nous devons nous rappeler que nous cherchons toutes les valeurs de \(x\) qui donnent un cosinus de \(-\sqrt{3}/2\). En plus de \(5\pi/6\), nous avons aussi \(-5\pi/6\). Donc, les solutions sont \(5\pi/6\) et \(-5\pi/6\), ou autrement dit, \(\pm 5\pi/6\). Mais ce n'est pas tout. Nous devons aussi prendre en compte toutes les autres valeurs de \(x\) qui donnent un cosinus de \(-\sqrt{3}/2\). Pour cela, nous ajoutons un certain nombre de fois \(2\pi\) à nos solutions, où \(k\) est un entier relatif. Donc, les solutions complètes sont \(\pm 5\pi/6 + 2k\pi\), où \(k \in \mathbb{Z}\).

Conclusion

Voilà comment résoudre des équations avec le cosinus. Dans la prochaine vidéo, nous verrons comment faire la même chose avec le sinus.