24. Équation du 2nd degré avec paramètre

Introduction

On va résoudre une question qui tombe très régulièrement : pour quelle valeur de \(m\) l'équation ci-dessous admet-elle deux solutions distinctes ? C'est ce qu'on appelle une équation avec paramètres. Au lieu d'avoir ce que vous avez l'habitude de voir, par exemple \(3x^2 + 5x + 2 = 0\), ici les coefficients que vous avez devant \(x\), que vous avez en constante et que vous avez devant \(x^2\), ils dépendent d'un paramètre qui s'appelle \(m\). C'est une équation à part entière avec \(m\).

Calcul du discriminant

Pour résoudre cette équation, on va calculer le discriminant (\(\Delta\)). Une fois qu'on aura calculé \(\Delta\), on va chercher \(m\) pour que \(\Delta\) soit strictement positif, car pour avoir deux solutions distinctes, il faut que \(\Delta\) soit strictement positif. On commence par calculer \(\Delta\), qui est égal à \(b^2 - 4ac\), avec \(a\), \(b\) et \(c\) les coefficients de notre équation. On obtient donc \(\Delta = (2m + 2)^2 - 4 \times 2 \times (-2m)\). En développant, on obtient \(\Delta = 4m^2 + 8m + 4 + 16m = 4m^2 + 24m + 4\).

Recherche des valeurs de \(m\) pour lesquelles \(\Delta\) est positif

Maintenant, on veut que \(\Delta\) soit positif, c'est-à-dire que \(4m^2 + 24m + 4 > 0\). Pour trouver les valeurs de \(m\) pour lesquelles cette inégalité est vraie, on va résoudre l'équation \(4m^2 + 24m + 4 = 0\). On trouve deux solutions : \(m_1 = -2\) et \(m_2 = 1/3\). On peut maintenant dresser un tableau de signes pour \(4m^2 + 24m + 4\). On trouve que cette expression est positive pour \(m < -2\) ou \(m > 1/3\).

Conclusion

Donc, les valeurs de \(m\) pour lesquelles l'équation initiale admet deux solutions distinctes sont \(m \in ]-\infty, -2[ \cup ]1/3, +\infty[\). Si on avait voulu que l'équation initiale n'admette aucune solution, il aurait fallu que \(\Delta\) soit négatif, donc \(m \in ]-2, 1/3[\). Si on avait voulu que l'équation initiale admette une unique solution, il aurait fallu que \(\Delta\) soit nul, donc \(m = -2\) ou \(m = 1/3\). C'est un exercice compliqué qui n'est pas du tout intuitif et que vous devez absolument refaire vous-même avec les exemples en dessous corrigés. Faites-le plusieurs fois, même si c'est difficile, c'est vraiment un exercice qui tombe souvent et qui vaut le coup d'être fait.