Analyse du Contrôle de Mathématiques sur les Polynômes du Second Degré (Première)

Ce sujet de mathématiques de niveau Première spécialité est un excellent entraînement sur le chapitre des polynômes du second degré. Conçu pour une durée d'une heure, il balaye les compétences essentielles à travers quatre exercices progressifs et un exercice bonus. Ce contrôle corrigé permet aux élèves de s'évaluer sur la manipulation des différentes formes d'un trinôme (canonique, développée, factorisée), la résolution d'équations et inéquations, et l'application de ces notions à des problèmes concrets d'optimisation et de modélisation. La calculatrice est autorisée.

Exercice 1 : QCM de connaissances fondamentales (3 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples qui teste rapidement les savoirs de base. Aucune justification n'est demandée, l'objectif est de vérifier l'acquisition des réflexes sur les polynômes du second degré.

• Question 1 : Il s'agit d'identifier parmi quatre trinômes celui qui admet \(-1\) comme racine. Cela implique de savoir tester si une valeur est une racine d'un polynôme, par exemple en calculant l'image du polynôme en \(-1\). Les trinômes proposés sont de la forme \(ax^2+bx+c\), comme \(2x^2 - x - 3\) ou \(3x^2 + 4x + 1\).
• Question 2 : À partir de l'expression canonique d'une fonction \(f(x) = -3(x - 2)^2 + 4\), il faut déterminer les propriétés de sa parabole représentative. Les propositions portent sur l'orientation de la parabole (tournée vers le haut ou le bas, liée au signe de \(a\)), les coordonnées du sommet \(S(\alpha; \beta)\), et l'intersection avec l'axe des ordonnées (calcul de \(f(0)\)).
• Question 3 : L'exercice inverse est proposé : à partir d'un tableau de variations sur l'intervalle \([-5; 6]\) montrant un minimum au point d'abscisse \(x=2\), il faut retrouver l'expression correcte de la fonction parmi quatre formes canoniques. Cette question évalue la capacité à lier le tableau de variation, le sens de variation, et les coordonnées du sommet de la parabole.

Exercice 2 : Maîtrise des trois formes d'un polynôme (4 points)

Cet exercice se concentre sur la fonction \(f(x) = 9x^2 - 48x + 15\) et l'utilisation de ses différentes écritures. Un logiciel de calcul formel fournit les formes canonique et factorisée, qu'il faut d'abord vérifier.

• Vérification : L'élève doit être capable de retrouver par le calcul la forme canonique \(f(x) = 9(x - \frac{8}{3})^2 - 49\) et la forme factorisée \(f(x) = 3(x-5)(3x-1)\).
• Utilisation de la forme adaptée :
  • a. Coordonnées du sommet : La forme canonique est la plus directe pour lire les coordonnées du sommet de la parabole.
  • b. Résolution de \(f(x)=0\) : La forme factorisée est idéale pour trouver les racines de l'équation, qui sont les solutions.
  • c. Résolution de l'inéquation \(f(x) < 15\) : La forme développée est ici la plus simple. L'inéquation se ramène à l'étude du signe d'un nouveau polynôme du second degré, ce qui nécessite de trouver ses racines et de dresser un tableau de signe.

Exercice 3 : Problème d'optimisation (3 points)

Cet exercice est une mise en situation classique : la modélisation d'un phénomène par une fonction du second degré dans le but de trouver un extremum. Il s'agit ici de maximiser la quantité d'énergie reçue par un panneau solaire en fonction de son angle d'inclinaison \(x\). L'énergie est donnée par la fonction \(g(x) = -0,2x^2 + 12,8x + 1800\) pour \(x \in [0; 90]\).

Pour résoudre ce problème, l'élève doit :

1. Déterminer la forme canonique de \(g(x)\) pour trouver l'abscisse du maximum.
2. Dresser le tableau de variations de la fonction \(g\) sur l'intervalle d'étude pour confirmer la présence d'un maximum.
3. Conclure en donnant la valeur de l'angle \(x\) qui maximise l'énergie reçue.

Exercice 4 : Modélisation d'une trajectoire parabolique (3 points)

Un autre problème de modélisation, cette fois-ci sur la trajectoire d'un plongeon. La trajectoire est un arc de parabole dont le sommet est connu, \(S(1; 2,4)\).

Les questions amènent l'élève à :

1. Déterminer l'équation de la parabole : En utilisant les coordonnées du sommet pour écrire la forme canonique \(y = a(x - 1)^2 + 2,4\), puis en utilisant un autre point de la trajectoire (le point de départ) pour calculer la valeur du coefficient \(a\).
2. Trouver la hauteur maximale : Cette information se lit directement sur les coordonnées du sommet de la parabole.
3. Calculer la distance du plongeon : Il faut trouver à quelle distance horizontale le plongeur touche l'eau, ce qui revient à résoudre l'équation \(f(x) = 0\) pour trouver l'abscisse du point d'impact.