Ce sujet de mathématiques pour la classe de Première en spécialité maths est une évaluation d'une heure portant sur deux chapitres fondamentaux du programme : la géométrie repérée et les polynômes du second degré. La calculatrice étant interdite, ce contrôle met l'accent sur la maîtrise des techniques de calcul et de raisonnement.

Ce corrigé détaillé vous guidera pas à pas à travers chaque question, en explicitant les méthodes et les formules clés. C'est un excellent outil de révision pour maîtriser les équations de droites, les vecteurs, la résolution d'équations du second degré et l'analyse graphique des paraboles.

Exercice 1 : Équations de droites et intersection (6 points)

Cet exercice est un classique de la géométrie repérée. Il évalue la capacité à manipuler les différentes formes d'équations de droites et à trouver leur point d'intersection.

• Question 1 : On demande de trouver l'équation cartésienne de la droite \(d_1\) passant par le point \(A(-2; 5)\) et de vecteur directeur \(\vec{u}\binom{5}{-6}\). La méthode consiste à utiliser la condition de colinéarité : pour un point \(M(x; y)\) sur la droite, les vecteurs \(\vec{AM}\binom{x+2}{y-5}\) et \(\vec{u}\) sont colinéaires. Leur déterminant est donc nul : \(\det(\vec{AM}, \vec{u}) = (x+2)(-6) - (y-5)(5) = 0\), ce qui mène à l'équation \(-6x - 5y + 13 = 0\).
• Question 2 : Pour déterminer le coefficient directeur de \(d_1\), on isole \(y\) dans l'équation cartésienne. De \(-6x - 5y + 13 = 0\), on obtient \(5y = -6x + 13\), soit \(y = -\frac{6}{5}x + \frac{13}{5}\). Le coefficient directeur est donc \(m_1 = -\frac{6}{5}\).
• Question 3 : Il faut déterminer l'équation cartésienne de la droite \(d_2\) passant par les points \(B(-5; 2)\) et \(C(5; 4)\). On calcule d'abord le vecteur directeur \(\vec{BC}\binom{5 - (-5)}{4 - 2} = \vec{BC}\binom{10}{2}\). On peut utiliser un vecteur colinéaire plus simple, comme \(\vec{v}\binom{5}{1}\). L'équation est de la forme \(x - 5y + c = 0\). En utilisant le point \(C\), on trouve \(5 - 5(4) + c = 0\), donc \(c=15\). L'équation est \(x - 5y + 15 = 0\).
• Question 4 : L'équation réduite de \(d_2\) s'obtient en isolant \(y\) : \(5y = x + 15\), ce qui donne \(y = \frac{1}{5}x + 3\).
• Question 5 : Pour montrer que les droites sont sécantes, il suffit de comparer leurs coefficients directeurs. Comme \(m_1 = -\frac{6}{5} \neq m_2 = \frac{1}{5}\), les droites ne sont pas parallèles et sont donc sécantes. Pour trouver les coordonnées du point d'intersection, on résout le système d'équations :$$ \begin{cases} -6x - 5y + 13 = 0 \\ x - 5y + 15 = 0 \end{cases} $$La résolution de ce système donne les coordonnées du point d'intersection.

Exercice 2 : Vecteurs et droites dans le plan (4 points)

Cet exercice approfondit la notion de vecteur directeur et l'utilisation du déterminant pour caractériser une droite.

• Question 1 : On doit montrer que \(\det(\vec{AM}, \vec{v}) = -2x + 5y + 15\) pour la droite \(d\) passant par \(A(0; -3)\) avec le vecteur directeur \(\vec{v}\binom{-5}{-2}\) et un point \(M(x; y)\). Le vecteur \(\vec{AM}\) a pour coordonnées \(\binom{x-0}{y-(-3)} = \binom{x}{y+3}\). Le déterminant est donc \(x(-2) - (y+3)(-5) = -2x + 5y + 15\).
• Question 2 : Une équation cartésienne de la droite \(d\) est obtenue en posant que le déterminant est nul, car les vecteurs sont colinéaires. L'équation est donc \(-2x + 5y + 15 = 0\).
• Question 3 : Pour savoir si le point \(B(3; -2)\) appartient à \(d\), on remplace ses coordonnées dans l'équation : \(-2(3) + 5(-2) + 15 = -6 - 10 + 15 = -1\). Comme le résultat est différent de 0, le point \(B\) n'appartient pas à la droite \(d\).
• Question 4 : L'axe des ordonnées est la droite d'équation \(x=0\). Pour trouver l'intersection, on résout le système :$$ \begin{cases} -2x + 5y + 15 = 0 \\ x = 0 \end{cases} $$En remplaçant \(x\) par 0, on obtient \(5y + 15 = 0\), soit \(y = -3\). Le point d'intersection est donc \((0; -3)\), qui est le point A.

Exercice 3 : Résolution d'équations du second degré (4 points)

Cet exercice porte sur la résolution d'équations impliquant un polynôme du second degré, compétence centrale du chapitre.

• Question 1 : Il faut résoudre l'équation \(f(x) = 0\) pour \(f(x) = -x^2 + x + 2\). On calcule le discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(-1)(2) = 1 + 8 = 9\). Comme \(\Delta > 0\), il y a deux solutions réelles : \(x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1-3}{-2} = 2\) et \(x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1+3}{-2} = -1\).
• Question 2 : On résout l'équation \(f(x) = 3\), soit \(-x^2 + x + 2 = 3\), qui se réécrit \(-x^2 + x - 1 = 0\). On calcule le discriminant \(\Delta = 1^2 - 4(-1)(-1) = 1 - 4 = -3\). Comme \(\Delta < 0\), l'équation n'a pas de solution dans l'ensemble des réels \(\mathbb{R}\).

Exercice 4 : Étude de fonctions polynômes du second degré (6 points)

Le dernier exercice combine l'analyse algébrique et graphique des fonctions du second degré, notamment la forme canonique et la recherche d'intersections.

• Question 1 : Il s'agit d'associer les fonctions \(f(x) = (x+1)^2 - 1\) et \(g(x) = -2x^2 - 3x + 2\) à leurs courbes \(C_1\) et \(C_2\). La fonction \(f\) est sous forme canonique. Le coefficient du terme en \(x^2\) est \(a=1 > 0\), la parabole est donc tournée vers le haut. Elle correspond à \(C_1\). Pour \(g\), le coefficient est \(a=-2 < 0\), la parabole est tournée vers le bas. Elle correspond à \(C_2\).
• Question 2 : Pour trouver la forme canonique de \(g(x) = -2x^2 - 3x + 2\), on utilise la formule du sommet \((\alpha, \beta)\) avec \(\alpha = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2(-2)} = -\frac{3}{4}\). Ensuite, \(\beta = g(\alpha) = -2(-\frac{3}{4})^2 - 3(-\frac{3}{4}) + 2 = \frac{25}{8}\). La forme canonique est \(g(x) = -2(x + \frac{3}{4})^2 + \frac{25}{8}\).
• Question 3 :
  1. Les abscisses des points d'intersection des deux courbes sont les solutions de l'équation \(f(x) = g(x)\). On a donc \((x+1)^2 - 1 = -2x^2 - 3x + 2\). En développant et en regroupant tous les termes du même côté, on obtient \(x^2 + 2x + 1 - 1 = -2x^2 - 3x + 2\), ce qui se simplifie en \(3x^2 + 5x - 2 = 0\).
  2. Pour trouver les coordonnées des points d'intersection, on résout cette équation. Le discriminant est \(\Delta = 5^2 - 4(3)(-2) = 25 + 24 = 49\). Les solutions sont \(x_1 = \frac{-5 - 7}{6} = -2\) et \(x_2 = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\). On calcule ensuite les ordonnées correspondantes, par exemple avec \(f(x)\): \(f(-2) = (-2+1)^2 - 1 = 0\) et \(f(\frac{1}{3}) = (\frac{1}{3}+1)^2 - 1 = (\frac{4}{3})^2 - 1 = \frac{16}{9} - 1 = \frac{7}{9}\). Les points d'intersection sont donc \((-2; 0)\) et \((\frac{1}{3}; \frac{7}{9})\).