Découvrez notre sujet complet de mathématiques pour la Première spécialité, axé sur la résolution de problèmes concrets à l'aide des polynômes du second degré et des suites numériques. Ce contrôle de 2 heures, avec calculatrice autorisée, est idéal pour s'entraîner à la mise en équation et à la modélisation. Chaque exercice est conçu pour évaluer votre capacité à traduire un énoncé en langage mathématique, à résoudre l'équation ou l'inéquation obtenue, et à interpréter les résultats dans le contexte initial. Ce document est une ressource précieuse pour les élèves souhaitant maîtriser ces chapitres essentiels du programme.

Exercice 1 : Une multiplication à rectifier (3 points)

Cet exercice de mise en route vous propose de corriger une opération erronée, \(12 \times 12 = 2021\). Il s'agit d'un excellent prétexte pour introduire une inconnue et aboutir à une équation du second degré. La modélisation est la première étape clé de la résolution de problèmes.

• Question 1 : On vous demande de modéliser le problème. En ajoutant un même nombre \(x\) aux trois membres de l'opération, \((12+x)\), \((12+x)\) et \(2021\), on obtient l'égalité \((12+x) \times (12+x) = 2021+x\). Il faut développer cette expression et la réarranger pour prouver qu'elle est équivalente à l'équation du second degré \(x^2 + 23x - 1877 = 0\).
• Question 2 : Cette question est une application directe du cours sur la résolution des équations polynomiales de degré 2. Vous devrez calculer le discriminant \(\Delta\), puis utiliser les formules pour trouver les deux racines exactes de l'équation. Une conversion en valeurs approchées au centième est également demandée.
• Question 3 : Il s'agit de vérifier la pertinence de la solution positive trouvée en la réinjectant dans l'égalité de départ modifiée. C'est une étape importante pour s'assurer de la validité de son raisonnement.

Exercice 2 : Deux cyclistes vers Saint-Jean-de-Luz (3 points)

Un problème classique de cinématique qui se résout grâce aux polynômes. La relation fondamentale \(vitesse = distance / temps\) est au cœur de cet exercice. Il faut être rigoureux dans l'expression des durées de trajet pour chaque cycliste.

• Question 1 : En notant \(v\) la vitesse du cycliste le plus lent, on exprime sa durée de trajet pour parcourir 195 km. Le second cycliste ayant une vitesse supérieure de 4 km/h, sa vitesse est \(v+4\). On exprime également sa durée de trajet.
• Question 2 : L'information cruciale est la différence d'une heure sur le temps de parcours. En posant l'égalité \(T_{lent} - T_{rapide} = 1\), soit \(\frac{195}{v} - \frac{195}{v+4} = 1\), on doit manipuler cette équation (mise au même dénominateur, produit en croix) pour démontrer que \(v\) vérifie l'équation \(v^2 + 4v - 780 = 0\).
• Question 3 : La résolution de cette équation du second degré donne la valeur de \(v\). Il faudra ensuite interpréter la solution dans le contexte (une vitesse ne peut être négative) et en déduire la vitesse du second cycliste.

Exercice 3 : Des points à distance imposée (3 points)

Cet exercice mêle géométrie analytique et polynômes. Il s'agit de trouver les coordonnées de points sur une droite qui sont à une distance fixe de l'origine du repère. La formule de la distance dans un repère orthonormé est fondamentale ici.

• Question 1 : Un point \(M(x, y)\) appartient à la droite d'équation \(y = 2x+4\). On demande d'exprimer la distance au carré \(OM^2 = x^2 + y^2\) uniquement en fonction de \(x\), en substituant \(y\) par son expression.
• Question 2 : On impose la condition \(OM = \sqrt{5}\), ce qui équivaut à \(OM^2 = 5\). Cela conduit à une équation du second degré en \(x\) qu'il faut résoudre pour trouver les abscisses possibles. On en déduit ensuite les ordonnées correspondantes.
• Question 3 : Une simple vérification permet de s'assurer que les points trouvés satisfont bien aux deux conditions : appartenir à la droite et être à la bonne distance de l'origine.

Exercice 4 : Un rectangle qu'on agrandit (3 points)

Ce problème aborde les pourcentages d'évolution et leur application à la géométrie, menant une nouvelle fois à une équation du second degré. La maîtrise des coefficients multiplicateurs est un atout pour le résoudre efficacement.

• Question 1 : On exprime les nouvelles dimensions du rectangle après une augmentation de \(t\%\) sur la largeur et \(2t\%\) sur la longueur. L'aire du nouveau rectangle s'exprime alors en fonction de l'aire initiale et de \(t\).
• Question 2 : Sachant que l'aire totale a augmenté de 32%, on peut poser une égalité entre l'expression de la nouvelle aire et \(1.32 \times A_{initiale}\). En simplifiant, on aboutit à l'équation \(t^2 + 150t - 1600 = 0\).
• Question 3 : Il faut résoudre l'équation pour trouver \(t\). L'une des deux solutions sera négative et donc à écarter, car un taux d'augmentation est positif. L'interprétation du résultat est ici primordiale.

Exercice 5 : Trois entiers consécutifs (2 points)

Un exercice d'arithmétique qui se résout simplement avec une équation du second degré. Le choix judicieux de l'inconnue \(n\) comme étant le nombre du milieu simplifie grandement les calculs.

En posant les trois entiers consécutifs comme \(n-1\), \(n\), et \(n+1\), la somme de leurs carrés s'écrit \((n-1)^2 + n^2 + (n+1)^2 = 1877\). Le développement de cette expression mène à une équation très simple de la forme \(an^2 = b\), qui se résout sans utiliser le discriminant.

Exercice 6 : Les pages collées (4 points)

Le seul exercice du sujet portant explicitement sur les suites. Il combine la formule de la somme des termes d'une suite arithmétique avec un raisonnement par encadrement pour résoudre un problème original.

• Question 1 : Un rappel de cours essentiel : la somme des \(n\) premiers entiers, qui est la somme des termes de la suite arithmétique de raison 1 et de premier terme 1, est donnée par la formule \(S_n = \frac{n(n+1)}{2}\).
• Question 2 : On modélise le problème. La somme totale théorique \(S_n\) est égale à la somme observée (2003) plus la somme des pages manquantes. Les pages collées étant \(p\) et \(p+1\), leur somme est \(2p+1\). On en déduit l'égalité \(\frac{n(n+1)}{2} = 2003 + (2p+1) = 2004 + 2p\).
• Question 3 : C'est la question la plus difficile. Il faut utiliser l'équation à deux inconnues \(n\) et \(p\) et les contraintes de l'énoncé (\(p\) est un numéro de page pair) pour trouver un encadrement sur \(n\), puis tester les quelques valeurs possibles pour \(n\) afin de trouver les solutions valides pour le couple \((n, p)\).

Exercice 7 : La pelouse du paysagiste (2 points)

Pour conclure, un problème de modélisation menant à une inéquation du second degré. Il faut déterminer la plage de valeurs possibles pour la largeur d'un rectangle sous une contrainte de surface maximale.

En posant \(x\) la largeur, la longueur est \(x+5\). L'aire est \(A(x) = x(x+5)\). La condition "l'aire est inférieure ou égale à 36 m²" se traduit par l'inéquation \(x(x+5) \le 36\), soit \(x^2 + 5x - 36 \le 0\). Pour la résoudre, il faut étudier le signe du polynôme du second degré en trouvant ses racines. La solution finale doit tenir compte de la contrainte physique : une largeur est un nombre positif.