Obtenez le corrigé complet de ce contrôle de mathématiques de Première spécialité. Ce sujet de 2 heures couvre les polynômes du second degré, les suites numériques et les probabilités conditionnelles. C'est un support parfait pour réviser et s'évaluer sur les compétences clés du programme. Chaque exercice est analysé en détail pour une compréhension optimale.

Exercice 1 : QCM (Questions à Choix Multiples)

Cet exercice rapide teste des savoir-faire essentiels sur les trois chapitres.

• Question 1 : Inéquation du second degré. Résolution de l'inéquation \( -x^2 - 2x + 8 > 0 \). Il faut déterminer les racines et le signe du trinôme.
• Question 2 : Limite d'une suite. On conjecture la limite de la suite \( v_n = 2 - \frac{5\sqrt{n}}{n^2} \) en analysant le comportement du terme fractionnaire lorsque \(n \to +\infty\).
• Question 3 : Suite récurrente. On cherche une relation de récurrence pour une suite \((u_n)\) qui dénombre les segments entre \(n\) points sur un cercle. La logique est de voir l'ajout d'un point \(n+1\).

Exercice 2 : Probabilités Conditionnelles

Un exercice concret pour appliquer les notions de probabilités conditionnelles.

• Question 1 : Traduction d'énoncé. Il faut convertir les pourcentages donnés en probabilités : \(P(C)\), \(P(C \cap E)\) et \(P_{\bar{C}}(E)\).
• Question 2 : Calcul de probabilité. Calcul de \(P(\bar{C} \cap \bar{E})\). Un arbre de probabilités est l'outil idéal pour structurer le problème.
• Question 3 : Formule des probabilités totales. Utilisation de la formule \( P(E) = P(C \cap E) + P(\bar{C} \cap E) \) pour trouver la probabilité de l'événement E.
• Question 4 : Indépendance d'événements. On vérifie si \(C\) et \(E\) sont indépendants en comparant \(P(C \cap E)\) et \(P(C) \times P(E)\).

Exercice 3 : Étude de Suites Numériques

Comparaison d'une suite explicite \((u_n)\) et d'une suite récurrente \((v_n)\).

• Questions 1 et 2 : Calcul de termes. Calcul des termes de rangs 3 et 100 des suites \( u_n = \frac{8n-4}{n+1} \) et \( v_{n+1} = 0.5v_n + 3.5 \).
• Question 3 : Sens de variation. Étude des variations de \((u_n)\) via l'étude de la fonction associée \( f(x) = \frac{8x-4}{x+1} \) et de sa dérivée.
• Question 4 : Algorithmique. Interprétation d'un algorithme Python qui teste l'inégalité \(u_n < v_n\) et qui s'arrête au premier rang où elle est fausse. Il faut en déduire la validité d'une affirmation.

Exercice 4 : Problème d'optimisation (Second Degré)

Ce problème complet modélise une situation économique à l'aide d'un polynôme du second degré.

• Question 1 : Prise de décision. Calcul du bénéfice pour deux volumes de production afin de comparer leur rentabilité.
• Question 2 : Analyse graphique. Lecture graphique de la plage de rentabilité (où la recette \(R(x)\) dépasse le coût \(C(x)\)) et de la production pour un bénéfice maximal.
• Question 3 : Étude analytique.
  a. Établissement de la fonction bénéfice \(B(x) = -0,5x^2 + 7,4x - 8,16 \).
  b. Étude du signe du polynôme \(B(x)\) pour déterminer la plage de production qui garantit un bénéfice positif.
  c. Étude des variations de la fonction \(B(x)\) pour trouver le bénéfice maximal. Cela revient à trouver les coordonnées du sommet de la parabole (\( x = -\frac{b}{2a} \)).