6. Résoudre une égalité de polynômes du second degré

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir un cas qui a l'air extrêmement compliqué. Comment est-ce qu'on fait pour résoudre un polynôme égal à un polynôme, sachant que pour l'instant, malheureusement, tout ce que vous savez résoudre, c'est des équations du genre \(ax^2 + bx + c = 0\)? La question qu'on se pose, c'est comment est-ce que je transforme mon équation qui est \(3x^2 - 2x + 1 = x^2 - x + 1\) en une équation que je suis capable de résoudre avec le delta et les racines, comme on a appris à le faire dans la question précédente.

Transformation de l'équation

Et bien, tout simplement, on va passer tout ce membre là de l'autre côté. Comment est-ce qu'on va faire ça? On va y aller étape par étape. Prenons le plus un, le plus évident. Moi, je le veux de l'autre côté, donc je vais faire un -1 ici et 1 - 1 ici. Du coup, mon équation elle devient \(3x^2 - 2x + 1 - 1 = x^2 - x\). Yes, j'ai réussi à me débarrasser de ce 1 et je recommence exactement la même étape pour virer le \(x\) et pour virer le \(x^2\). Donc, pour virer ce - \(x\), je vais faire plus \(x\) ici, mais attention, je suis obligé de le faire aussi de l'autre côté. Et pour virer le \(x^2\), je vais faire - \(x^2\) ici et du coup je vais devoir faire moins \(x^2\) ici. Du coup, dans mon équation, le terme de droite, je vais avoir \(x^2 - x^2 - x + x = 0\). De ce côté là, je vais avoir \(3x^2 - 2x + 1 - 1 + x - x^2 = 0\). Et là, je suis content parce que ça ressemble déjà beaucoup plus à \(ax^2 + bx + c = 0\), qui est finalement la seule équation polynomiale qu'on sache vraiment résoudre.

Résolution de l'équation

J'ai plus qu'à la ranger un petit peu pour que ça ressemble à ça. Mon \(3x^2\) il va se simplifier avec mon moins \(x^2\), donc je peux les barrer et je vais dire qu'il en reste deux. En effet, si je fais trois pommes moins une pomme, il me reste deux pommes. Mon - \(2x\) il va simplifier avec ce plus \(x\), il va me rester -\(x\) et mon plus un -1 il va me faire tout simplement 0. Hop là, j'ai bien une équation polynomiale \(ax^2 + bx + c = 0\). En effet, mon \(a\) je l'ai ici, c'est 2, donc ça c'est mon \(a\). Le \(b\) il est là, il vaut moins un, c'est mon \(b\) et mon \(c\) il est là, caché, il vaut 0, donc j'ai \(a\), \(b\), \(c\). J'ai plus qu'à faire le déterminant, les racines. Je le fais vraiment juste pour le plaisir de continuer cette vidéo avec vous parce que je vous aime, mais clairement, je suis dans un ennui mortel là. Donc \(b^2 - 4ac\), \(b^2\) allez, je remets la formule pour ceux qui l'auraient oublié, \(b^2 - 4ac\). Mon \(b\) au carré, ça fait moins un carré, ça me fait 1 - \(4 \times 2 \times 0\), et donc j'obtiens 1. Donc j'ai un delta qui vaut 1. Mes racines, vu que le delta est positif, c'est \(x_1 = -b - \sqrt{\Delta}/2a\), donc ma première solution c'est 0 et la deuxième c'est \(1 + \sqrt{1}/2 \times 2\), et ça, ça me fait 1/2. Formidable, j'ai mes deux solutions, \(x_1 = 0\) et \(x_2 = 1/2\), et j'ai résolu mon égalité de polynôme. Souvenez-vous que quand vous voulez résoudre une inégalité de polynôme, comme dans cet exercice là, la solution c'est toujours, toujours de se ramener tout d'un côté égal 0, Delta, les racines, bim bam boum, c'est plié et vous êtes des champions.