Introduction
Salut à tous, aujourd'hui on va apprendre comment résoudre une équation du second degré sans discriminant. Jusqu'à présent, vous avez utilisé une méthode qui consistait à calculer le discriminant pour trouver les racines de l'équation. Aujourd'hui, on va voir comment s'en sortir avec un peu plus de finesse et de subtilité.
Reconnaître une identité remarquable
La première manière de résoudre une équation du second degré sans discriminant est de reconnaître une identité remarquable. Prenons trois exemples :
1. \(x^2 - 2x + 1 = 0\)
Si vous connaissez vos identités remarquables, vous savez que \(a^2 - 2ab + b^2\) peut se factoriser en \((a - b)^2\). Donc, on peut dire que cette équation est la même chose que \((x - 1)^2 = 0\). C'est à dire que le seul nombre qui, mis au carré, donne zéro est zéro. Donc, \(x = 1\).
2. \(3x^2 + 6x + 3 = 0\)
Ici, on peut factoriser par 3 pour obtenir \(3(x^2 + 2x + 1) = 0\). En utilisant l'identité remarquable, on obtient \(3(x + 1)^2 = 0\). Donc, \(x = -1\).
3. \(x^2 - 25 = 0\)
Ici, on utilise l'identité remarquable \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\). Donc, on obtient \((x - 5)(x + 5) = 0\). Donc, \(x = 5\) ou \(x = -5\).
Factoriser par x
Pour résoudre un polynôme du second degré quand le troisième terme vaut zéro, on peut factoriser par x. Par exemple, pour l'équation \(x^2 + 3x = 0\), on peut factoriser par x pour obtenir \(x(x + 3) = 0\). Donc, \(x = 0\) ou \(x = -3\).
Isoler x au carré
Dans le cas où le deuxième terme est nul, on peut isoler \(x^2\). Par exemple, pour l'équation \(3x^2 - 9 = 0\), on peut isoler \(x^2\) pour obtenir \(x^2 = 3\). Donc, \(x = \sqrt{3}\) ou \(x = -\sqrt{3}\).
En conclusion, il y a trois cas possibles pour résoudre une équation du second degré sans discriminant : reconnaître une identité remarquable, factoriser par x, ou isoler \(x^2\). À vous de jouer !