Obtenez une analyse détaillée et un corrigé pour ce sujet de contrôle de mathématiques de niveau Première spécialité, entièrement consacré au chapitre sur les polynômes du second degré. Ce document est idéal pour les élèves souhaitant s'entraîner et comprendre en profondeur les compétences attendues, de la manipulation des différentes formes d'un polynôme à la résolution de problèmes concrets. Ce contrôle corrigé couvre l'ensemble des savoir-faire essentiels.

Exercice 1 : QCM de connaissances fondamentales

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM) conçu pour évaluer rapidement votre maîtrise des concepts de base des fonctions polynômes du second degré. Chaque question aborde un point clé du cours.

• Question 1 : Il s'agit d'identifier les paramètres \(\alpha\) et \(\beta\) de la forme canonique d'une fonction polynôme \(f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta\). Pour la fonction donnée \(f_1(x) = 4(x + 3)^2 + 1\), il faut faire attention au signe dans la parenthèse pour déterminer \(\alpha\).
• Question 2 : Cette question demande d'associer un tableau de variation à la bonne expression de fonction. L'analyse du tableau permet de déduire les coordonnées du sommet de la parabole \(S(\alpha, \beta)\) et le sens de variation, qui est directement lié au signe du coefficient dominant \(a\). Un \(a < 0\) implique une parabole ouverte vers le bas (croissante puis décroissante).
• Question 3 : On évalue ici votre connaissance des formules de la somme et du produit des racines d'un polynôme du second degré \(ax^2+bx+c=0\). Pour l'équation \(2x^2 – 8x + 6 = 0\), la somme des racines est \(S = -\frac{b}{a}\) et le produit est \(P = \frac{c}{a}\).
• Question 4 : La dernière question porte sur la résolution d'une inéquation du second degré, \(-x^2 + 3x + 4 > 0\). La méthode consiste à trouver les racines du trinôme, puis à déterminer son signe, qui dépend du coefficient \(a\). Un trinôme du second degré est du signe de \(a\) à l'extérieur de ses racines et du signe de \(-a\) entre ses racines.

Exercice 2 : Les trois formes d'un polynôme

Cet exercice est central car il met en lumière l'importance de savoir jongler entre les différentes écritures d'un polynôme du second degré pour résoudre plus facilement un problème donné. On part de la fonction \(g(x) = (2x – 1)^2 − (x + 3)^2\).

• Question 1 : Il est demandé de trouver la forme développée et réduite. Cela se fait en utilisant les identités remarquables \((a-b)^2\) et \((a+b)^2\) pour développer chaque terme, puis en regroupant les termes de même puissance.
• Question 2 : Ici, l'objectif est d'obtenir la forme factorisée. En reconnaissant que l'expression initiale est une différence de deux carrés de la forme \(A^2 - B^2\), on peut la factoriser directement en \((A-B)(A+B)\), ce qui est bien plus rapide que de chercher les racines à partir de la forme développée.
• Question 3 : C'est la question de synthèse. Pour chaque calcul, il faut choisir la forme la plus adaptée :
  • Pour calculer une image comme \(g(0)\), la forme développée \(g(x) = 3x^2 - 10x - 8\) est souvent la plus rapide.
  • Pour résoudre une équation comme \(g(x) = 0\), la forme factorisée \(g(x) = (3x + 2)(x - 4)\) est idéale car elle mène à une équation produit-nul.
  • Pour résoudre \(g(x) = -8\), la forme développée se simplifie en une équation du second degré sans terme constant, facile à résoudre.

Exercice 3 : Résolution d'équations et inéquations

Cet exercice technique vise à consolider vos compétences calculatoires sur la résolution d'équations et l'étude de signes de fonctions plus complexes.

• Question 1 : On doit résoudre trois équations du second degré différentes : une complète (\(-3x^2 - 3x + 6 = 0\)) qui nécessite le calcul du discriminant \(\Delta\), et deux incomplètes (\(-2x^2+5=0\) et \(5x^2 - 3x = 0\)) qui peuvent être résolues plus rapidement sans le discriminant.
• Question 2 : Cette question est consacrée à l'étude de signes. Il faut construire des tableaux de signes. Pour \(g(x) = (-2x + 1)(-3x^2 – 3x + 6)\), il faut combiner le signe d'une fonction affine et celui d'un trinôme. Pour le quotient \(h(x)\), il faut étudier le signe du numérateur et du dénominateur, sans oublier les valeurs interdites.
• Question 3 : En utilisant le tableau de signe de la question précédente, on peut directement lire les intervalles sur lesquels l'inéquation \(g(x) \geq 0\) est vérifiée.

Exercice 4 : Problème d'application économique

Le dernier exercice est un problème concret d'économie qui illustre l'utilité des polynômes du second degré pour modéliser des situations réelles, comme le calcul d'un bénéfice.

• Question 1 : La première étape consiste à modéliser la situation. "L'activité est à l'équilibre" signifie que la recette est égale au coût de production. En posant l'équation \(Recette(q) = Coût(q)\) pour \(q=25\), on peut déterminer le prix de vente \(p\) à la tonne.
• Question 2 : On exprime le bénéfice \(B(q)\) en fonction de la quantité \(q\). Le bénéfice est la différence entre la recette et le coût : \(B(q) = R(q) - C(q)\). On obtient alors une nouvelle fonction polynôme du second degré.
• Question 3 : Pour savoir si un bénéfice de 100 euros est possible, il faut résoudre l'équation \(B(q) = 100\). Le calcul du discriminant de cette équation du second degré permet de déterminer si elle a des solutions réelles. Une autre approche consiste à chercher le maximum de la fonction bénéfice, qui correspond au sommet de la parabole. Si ce maximum est inférieur à 100, alors un tel bénéfice est impossible.

Ce sujet de maths pour la Première spé est un excellent entraînement pour le chapitre des polynômes du second degré, couvrant toutes les facettes du programme.