Contrôle Corrigé de Mathématiques : Dérivation et Suites (Première Spécialité)

Ce document propose le sujet et une analyse détaillée d'un contrôle de mathématiques de niveau Première Spécialité. D'une durée d'1h30, cette évaluation porte sur les chapitres fondamentaux de la dérivation et des suites numériques. C'est un excellent outil de révision pour les élèves souhaitant s'entraîner et valider leurs connaissances sur des exercices variés, allant du QCM à la résolution de problèmes complexes. Ce sujet de maths couvre l'essentiel des compétences attendues, notamment le calcul de dérivées, la détermination d'équations de tangentes, la modélisation de situations par des suites arithmétiques ou géométriques, le calcul de sommes de termes et l'initiation à l'algorithmique. Ce corrigé détaillé vous aidera à préparer efficacement vos prochains examens.

Exercice 1 : QCM de connaissances fondamentales

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples en 5 questions indépendantes. Il vise à évaluer la maîtrise des définitions et des concepts de base sur la dérivation et les suites.

• Question 1 : Évalue la compréhension de la définition du nombre dérivé. À partir de l'expression du taux de variation \( \frac{f(1+h)-f(1)}{h} = h^2 + 3h - 1 \), il faut en déduire \( f'(1) \) en calculant la limite lorsque \( h \) tend vers 0.
• Question 2 : Porte sur la lecture graphique du nombre dérivé. Il faut interpréter le coefficient directeur de la tangente à la courbe en un point donné. Pour le point d'abscisse 2, la pente de la tangente (EF) se calcule graphiquement.
• Question 3 : Concerne la modélisation d'un phénomène par une suite. Une hausse annuelle constante du niveau de la mer de 3,4 mm correspond à une suite arithmétique de raison 3,4.
• Question 4 : Demande le calcul de la somme des 2020 premiers entiers naturels, \( S = 1 + 2 + \dots + 2020 \). Il s'agit d'appliquer la formule de la somme des termes d'une suite arithmétique : \( S = \frac{n(n+1)}{2} \).
• Question 5 : Teste la compréhension d'un algorithme calculant la somme des termes d'une suite. Il faut analyser la logique de la boucle et l'initialisation des variables pour identifier l'algorithme correct qui calcule \( S = u_0 + u_1 + \dots + u_{37} \).

Exercice 2 : Problème sur une suite arithmétique (Carrelage hexagonal)

Ce problème concret guide l'élève dans l'étude d'une situation modélisée par une suite arithmétique. Un artisan pose des carreaux hexagonaux en étapes successives.

• Question 1 & 2 : Il faut d'abord conjecturer puis démontrer que le nombre de carreaux ajoutés à chaque étape, \( (v_n) \), forme une suite arithmétique. On établit ensuite sa forme explicite \( v_n = 6n \).
• Question 3 & 4 : Ces questions portent sur le calcul de la somme des termes de cette suite arithmétique pour déterminer le nombre total de carreaux ajoutés. On démontre la formule \( S_n = 3n^2 + 3n \) en utilisant la somme des \(n\) premiers entiers.
• Question 5 : La question finale est une résolution de problème inverse. Connaissant le nombre total de carreaux posés (\( 3n^2 + 3n + 1 = 3169 \)), il faut retrouver le nombre d'étapes \(n\) en résolvant une équation du second degré.

Exercice 3 : Problème sur une suite géométrique (Visionnages d'une série)

Ce second problème aborde la modélisation d'une croissance en pourcentage à l'aide d'une suite géométrique. Il s'agit d'estimer l'évolution hebdomadaire des visionnages d'une nouvelle série.

• Question 1 & 2 : On identifie que l'augmentation de 3% chaque semaine mène à une suite géométrique de raison 1,03. On en déduit la forme explicite \( u_n = 220000 \times 1,03^n \).
• Question 3 & 4 : Application directe de la formule pour calculer un terme de rang élevé et étude du sens de variation de la suite, qui est croissant car sa raison est supérieure à 1 et son premier terme positif.
• Question 5 : Cette question fait appel à l'algorithmique. Il faut compléter un programme Python qui détermine au bout de combien de semaines le nombre de visionnages dépassera le seuil de 500 000. Il s'agit de manipuler une boucle `while`.

Exercice 4 : Vrai ou Faux avec justification

Cet exercice évalue la capacité à argumenter et à justifier une réponse mathématique sur deux affirmations distinctes.

• Affirmation 1 : Concerne la somme des termes d'une suite géométrique. Il faut reconnaître la somme \( S = 1 + \frac{1}{2} + \dots + (\frac{1}{2})^{18} \) et utiliser la formule appropriée pour vérifier si le résultat proposé est correct.
• Affirmation 2 : Porte sur la dérivation d'une fonction rationnelle. Pour vérifier si le coefficient directeur de la tangente en \( x=0 \) à la courbe de \( f(x) = \frac{3-x}{x+2} \) est 1, il faut calculer la dérivée \( f'(x) \) (dérivée d'un quotient) puis évaluer \( f'(0) \).

Exercice 5 : Étude d'une fonction polynôme et de ses tangentes

Le dernier exercice est une étude de fonction classique centrée sur la dérivation et l'application au calcul de tangentes.

• Question 1 : Calcul simple de la dérivée d'une fonction polynôme du troisième degré, \( g(x) = x^3 + 3x^2 + 3x - 63 \).
• Question 2 : Application de la formule de l'équation de la tangente \( y = g'(a)(x-a) + g(a) \) au point d'abscisse -1. Un cas particulier intéressant car la tangente est horizontale (dérivée nulle).
• Question 3 : Recherche des points de la courbe où la tangente est parallèle à une droite donnée, ce qui se traduit par la résolution de l'équation \( g'(x) = m \), où \( m \) est le coefficient directeur de la droite.
• Question facultative : Un problème d'approfondissement stimulant sur la recherche des tangentes à une parabole passant par un point extérieur, qui mène à la résolution d'une équation du second degré.