Ce contrôle corrigé de mathématiques pour le niveau Première spécialité est entièrement dédié au chapitre sur les suites arithmétiques et géométriques. Il s'agit d'un sujet complet d'une heure, avec calculatrice autorisée, qui balaye l'ensemble des compétences essentielles de ce chapitre fondamental. Le sujet est structuré en cinq exercices de difficulté progressive, allant de l'application directe des formules du cours à la résolution de problèmes complexes de modélisation, en passant par l'analyse d'algorithmes en Python.

Ce document est une ressource idéale pour les élèves souhaitant s'entraîner et évaluer leur compréhension des suites numériques. Chaque exercice est conçu pour tester des savoir-faire spécifiques, ce qui en fait un excellent outil de révision avant une évaluation. Les thèmes abordés incluent les formules explicites, l'étude des variations, le calcul de sommes de termes, l'algorithmique et la modélisation d'une situation concrète à l'aide d'une suite arithmético-géométrique.

Exercice 1 : Maîtrise de la Suite Arithmétique

Cet exercice est une application directe des formules relatives aux suites arithmétiques. On considère une suite \((u_n)\) définie par son premier terme \(u_0 = -3\) et sa raison \(r=2\).

• Question 1 : Il est demandé de trouver l'expression du terme général \(u_n\) en fonction de \(n\), en utilisant la formule \(u_n = u_0 + nr\). Une fois la formule établie, il faut calculer un terme de rang élevé, \(u_{50}\), ce qui teste la capacité à appliquer la formule correctement.
• Question 2 : Cette question porte sur l'étude des variations de la suite. Il s'agit de justifier que la suite est croissante en analysant le signe de la raison \(r\). Comme \(r=2 > 0\), la suite \((u_n)\) est strictement croissante.
• Question 3 : Le calcul de la somme \(S = u_0 + u_1 + \dots + u_{50}\) est l'objectif final. Cela nécessite l'utilisation de la formule de la somme des termes d'une suite arithmétique : \(S = \text{nombre de termes} \times \frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\). Il faut faire attention au nombre de termes, qui est ici de 51 (de 0 à 50).

Exercice 2 : Suites et Algorithmique

Cet exercice fait le lien entre les suites définies par récurrence et leur implémentation algorithmique. La suite \((u_n)\) est définie par \(u_0=3\) et un algorithme en Python qui génère la liste de ses termes.

• Question 1 : Il faut exécuter l'algorithme "à la main" pour \(n=5\) afin de déterminer la liste \(L\) retournée. Cela implique de comprendre le fonctionnement d'une boucle `for` et de calculer pas à pas les termes \(u_1, u_2, u_3, u_4, u_5\).
• Question 2 : La tâche consiste à traduire la ligne de code `U = 2*U - 1` en une relation de récurrence mathématique. On en déduit facilement que \(u_{n+1} = 2u_n - 1\).

Exercice 3 : Les Bases de la Suite Géométrique

Cet exercice se concentre sur les suites géométriques, en particulier sur le calcul de la somme de leurs termes, avec une nouvelle approche algorithmique. On part d'une suite géométrique de premier terme \(u_0 = 5\) et de raison \(q=2\).

• Question 1 : Il s'agit de compléter un programme Python pour qu'il calcule la somme \(u_0 + \dots + u_{10}\). Il faut correctement initialiser les variables (la somme \(S\) et le terme courant \(U\)) et les mettre à jour à chaque passage dans la boucle.
• Question 2 : Cette partie revient au calcul manuel. On doit d'abord rappeler la formule de la somme des \(n+1\) premières puissances d'un nombre \(q \neq 1\) : \(1+q+q^2+\dots+q^n = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}\). Ensuite, on applique cette formule pour calculer la somme demandée, en factorisant d'abord par le premier terme \(u_0\).

Exercice 4 : Problème de Modélisation (Suite Arithmético-Géométrique)

C'est l'exercice le plus complet du sujet. Il s'agit de modéliser une situation concrète (l'évolution d'une population de rongeurs) à l'aide d'une suite, qui se révèle être arithmético-géométrique.

• Question 1 : La première étape est la modélisation. Une diminution de 10% se traduit par une multiplication par \(1 - \frac{10}{100} = 0,9\), et l'ajout de 10 individus se traduit par une addition. On justifie ainsi la relation de récurrence \(u_{n+1} = 0,9u_n + 10\).
• Question 2 : Après avoir calculé les premiers termes, on démontre que la suite n'est ni arithmétique (en montrant que \(u_2 - u_1 \neq u_1 - u_0\)) ni géométrique (en montrant que \(u_2/u_1 \neq u_1/u_0\)).
• Question 3 : C'est le cœur de la méthode des suites arithmético-géométriques. On introduit une suite auxiliaire \((v_n)\) définie par \(v_n = u_n - 100\).
  • On démontre que \((v_n)\) est une suite géométrique en exprimant \(v_{n+1}\) en fonction de \(v_n\) et en montrant que \(v_{n+1} = 0,9 v_n\).
  • On en déduit l'expression explicite de \(v_n\) en fonction de \(n\), puis, par substitution, celle de \(u_n\).
• Question 4 : Cette question demande d'utiliser la calculatrice (mode table ou résolution d'inéquation) pour déterminer le rang \(n\) à partir duquel la population, initialement de 300, passe en dessous de 150. Il faut ensuite interpréter ce rang en termes d'année.

Exercice 5 (Bonus) : Un Défi Arithmétique

Ce problème bonus est une application astucieuse des suites arithmétiques. Il faut trouver 9 nombres impairs consécutifs dont la somme est 153. On peut modéliser ces nombres par une suite arithmétique de raison \(r=2\). En notant \(u_0\) le premier nombre, la somme des 9 termes est donnée par la formule. On résout alors une équation pour trouver \(u_0\) et, par la suite, les 8 autres nombres.