Découvrez notre sujet de contrôle de mathématiques pour le niveau Première spécialité, entièrement dédié au chapitre sur les suites arithmétiques et géométriques. Ce document de 30 minutes, avec calculatrice autorisée, est un excellent outil pour réviser et maîtriser les concepts fondamentaux des suites numériques. Il comporte 10 exercices variés qui balayent l'ensemble du programme sur ce thème : détermination de la raison et du premier terme, expression du terme général, étude du sens de variation, calcul de sommes et application à des problèmes concrets. Ce contrôle corrigé vous permettra de tester vos connaissances et de vous préparer efficacement pour vos évaluations.

Chaque exercice est conçu pour cibler une compétence précise, vous aidant à identifier vos points forts et les domaines à approfondir. Que vous ayez besoin de vous entraîner à reconnaître la nature d'une suite, à manipuler ses formules ou à modéliser une situation, ce sujet est fait pour vous.

Exercice 1 : Déterminer les éléments d'une suite arithmétique

Cet exercice classique évalue votre capacité à manipuler les propriétés fondamentales d'une suite arithmétique. On vous donne deux termes de la suite, \(u_{13} = 36\) et \(u_{20} = 51,4\), et on vous demande de retrouver ses éléments caractéristiques.

• Déterminer la raison \(r\) : Il faut utiliser la formule du terme général \(u_n = u_p + (n-p)r\). En posant \(n=20\) et \(p=13\), on obtient une équation simple pour isoler la raison \(r\).
• Calculer le premier terme \(u_0\) : Une fois la raison connue, on peut à nouveau utiliser la formule \(u_n = u_0 + nr\) avec l'un des termes donnés (par exemple \(u_{13}\)) pour trouver \(u_0\).
• Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\) : Il s'agit simplement d'écrire la forme explicite de la suite, \(u_n = u_0 + nr\), en remplaçant \(u_0\) et \(r\) par les valeurs trouvées.

Exercice 2 : Suite arithmétique définie par récurrence

Ici, on part d'une suite \((u_n)\) définie par sa relation de récurrence \(u_{n+1} = u_n - 2\) et son premier terme \(u_0 = 5\). L'objectif est de reconnaître la nature de la suite et d'étudier son comportement.

• Expression de \(u_n\) : La relation de récurrence est de la forme \(u_{n+1} = u_n + r\), ce qui caractérise une suite arithmétique. On identifie la raison \(r = -2\) et on en déduit la forme explicite \(u_n = u_0 + nr\).
• Sens de variation : Le sens de variation d'une suite arithmétique dépend directement du signe de sa raison. Comme \(r = -2 < 0\), la suite est strictement décroissante.

Exercice 3 : Reconnaître une suite à partir de sa forme explicite

Cet exercice fait le chemin inverse du précédent. On vous donne la forme explicite d'une suite, \(u_n = 25 - 3n\), et il faut en déduire sa nature.

Pour déterminer la nature de la suite, il suffit de reconnaître que l'expression de \(u_n\) est une fonction affine de \(n\). C'est la caractéristique d'une suite arithmétique. Le coefficient de \(n\) est la raison (\(r = -3\)), et le terme constant (ou l'image de 0) est le premier terme \(u_0 = 25\).

Exercice 4 : Tester la nature d'une suite

On considère une suite définie par \(u_0 = 4\) et \(u_{n+1} = 0,5 u_n + 6\). La question est de savoir si cette suite est arithmétique ou géométrique.

• Est-elle arithmétique ? On calcule la différence \(u_{n+1} - u_n = -0,5 u_n + 6\). Comme cette différence dépend de \(n\) (via \(u_n\)), elle n'est pas constante. La suite n'est donc pas arithmétique.
• Est-elle géométrique ? On calcule le quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n} = 0,5 + \frac{6}{u_n}\). Ce quotient dépend de \(n\), il n'est pas constant. La suite n'est donc pas géométrique. Cette suite est en fait une suite arithmético-géométrique.

Exercice 5 : Éléments d'une suite géométrique

Cet exercice est le pendant de l'exercice 1 pour les suites géométriques. On sait que \((v_n)\) est une suite géométrique de raison \(q = 3\) et que \(v_4 = -18\).

• Déterminer \(v_1\) : On utilise la formule du terme général d'une suite géométrique, \(v_n = v_p \cdot q^{n-p}\). En appliquant cette formule avec \(n=4\) et \(p=1\), on peut isoler et calculer \(v_1\).
• Exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\) : Pour cela, il faut d'abord trouver \(v_0\) en utilisant par exemple \(v_4 = v_0 \cdot q^4\). Ensuite, on écrit la forme explicite \(v_n = v_0 \cdot q^n\).

Exercice 6 : Résolution d'inéquation avec une suite arithmétique

Cet exercice aborde la notion de seuil. Pour une suite arithmétique de raison \(r = 0,7\) et de premier terme \(u_0 = 5\), on cherche le plus petit entier \(n\) tel que \(u_n \ge 1000\).

La méthode consiste à d'abord exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\) (\(u_n = 5 + 0,7n\)), puis à résoudre l'inéquation \(5 + 0,7n \ge 1000\).

Exercice 7 : Retrouver la raison d'une suite géométrique

Similaire à l'exercice 1, mais pour les suites géométriques. On connaît \(v_0 = -36\) et \(v_3 = 972\). Le but est de trouver la raison et l'expression de la suite.

• Déterminer la raison \(q\) : On part de la formule \(v_3 = v_0 \cdot q^{3-0}\). On remplace par les valeurs données : \(972 = -36 \cdot q^3\). Il faut alors résoudre cette équation pour trouver \(q\).
• Exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\) : Une fois \(v_0\) et \(q\) connus, l'expression de \(v_n\) est immédiate.

Exercice 8 : Modélisation avec une suite géométrique

Cet exercice est une application concrète des suites. Une population de 5000 bactéries diminue de 12% chaque heure. On cherche le nombre de bactéries après six heures.

Une diminution de 12% correspond à multiplier par un coefficient multiplicateur de \(1 - \frac{12}{100} = 0,88\). Le nombre de bactéries suit donc une suite géométrique de premier terme \(u_0 = 5000\) et de raison \(q = 0,88\). Il suffit de calculer \(u_6\).

Exercice 9 : Étude complète d'une suite géométrique

On étudie la suite définie par \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = 0,7 u_n\).

• Expression de \(u_n\) : On reconnaît une suite géométrique de raison \(q = 0,7\) et de premier terme \(u_0 = 1\). Sa forme explicite est donc \(u_n = (0,7)^n\).
• Sens de variation et type de croissance : La raison \(q = 0,7\) est comprise entre 0 et 1 et le premier terme \(u_0 = 1\) est positif. La suite est donc décroissante. La croissance est exponentielle.
• Conjecturer la limite : Comme la raison \(q\) est telle que \(-1 < q < 1\), la limite de la suite \((u_n)\) est 0.

Exercice 10 : Calcul d'une somme de termes

La dernière question porte sur le calcul de la somme \(S = 2 + 4 + 6 + \dots + 1002\).

Il faut reconnaître que l'on somme les termes d'une suite arithmétique de premier terme \(u_1 = 2\) et de raison \(r = 2\). On applique la formule de la somme : \(S = \text{nombre de termes} \times \frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\).