Contrôle Corrigé de Mathématiques pour Première Spécialité

Ce sujet de mathématiques, niveau Première spécialité, est un excellent entraînement pour les élèves. D'une durée d'une heure, il porte sur deux chapitres fondamentaux du programme : les probabilités conditionnelles et la fonction exponentielle. Il est conçu pour évaluer la compréhension des concepts clés et la capacité à les appliquer dans des exercices variés. La calculatrice est autorisée.

Exercice 1 : Probabilités Conditionnelles (8 points)

Cet exercice classique de probabilités se base sur une situation concrète : une agence de voyage qui sonde ses clients. Les élèves doivent modéliser la situation pour répondre à plusieurs questions. Les compétences évaluées sont :

• Modélisation : Traduire un énoncé en langage probabiliste et construire un arbre de probabilité pondéré. Les événements sont G (« le client part en groupe ») et E (« le client part à l'étranger »).
• Calcul de probabilités :
  • Calculer la probabilité d'une intersection, ici \(P(G \cap E)\), et l'interpréter dans le contexte de l'exercice.
  • Appliquer la formule des probabilités totales pour démontrer que la probabilité d'un événement, \(P(E)\), est égale à une valeur donnée (0,561).
  • Calculer une probabilité conditionnelle 'inversée', c'est-à-dire la probabilité de partir en groupe sachant que le client part à l'étranger, \(P_E(G)\).
• Indépendance : Vérifier si deux événements, E et G, sont indépendants en comparant \(P(E \cap G)\) avec le produit \(P(E) \times P(G)\).

Cet exercice est un incontournable pour maîtriser les arbres pondérés et la logique des probabilités conditionnelles.

Exercice 2 : Équations avec la Fonction Exponentielle (4 points)

Ce second exercice se concentre sur la résolution d'équations impliquant la fonction exponentielle. Il teste la maîtrise des propriétés algébriques de cette fonction.

• Question 1 : Il s'agit de résoudre l'équation \((e^{-2x+1})^2 = \frac{e^{4x}}{e^6}\). La résolution passe par l'application des règles de calcul sur les exposants : \((e^a)^b = e^{ab}\) et \(\frac{e^a}{e^b} = e^{a-b}\), avant de conclure avec l'équivalence \(e^A = e^B \iff A = B\).
• Question 2 : L'équation \(e^{2x} + 2e^x - 3 = 0\) est un grand classique qui se résout par un changement de variable. En posant \(X = e^x\), l'équation se transforme en une équation du second degré \(X^2 + 2X - 3 = 0\), que l'on sait résoudre. Il ne faut pas oublier de revenir à la variable \(x\) une fois les solutions pour \(X\) trouvées.

Exercice 3 : Étude de Fonction Exponentielle (6 points)

Le dernier exercice est une étude de fonction complète, un type de problème central en analyse. La fonction étudiée est \(f(x) = (x^2 - 2,5x + 1) e^x\) sur l'intervalle \([-2; 2]\).

• Dérivation : La première question demande de calculer la fonction dérivée \(f'(x)\). Cela nécessite l'utilisation de la formule de dérivation d'un produit de fonctions \((uv)' = u'v + uv'\).
• Tableau de variations : Pour dresser le tableau de variations de \(f\), il faut étudier le signe de la dérivée \(f'(x)\). Comme \(e^x\) est toujours strictement positive, le signe de \(f'(x)\) dépend uniquement du signe d'un polynôme du second degré, qu'il faut analyser.
• Équation de la tangente : La dernière question demande de déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0. Il faut appliquer la formule \(y = f'(a)(x-a) + f(a)\) avec \(a=0\), ce qui demande de calculer au préalable les valeurs de \(f(0)\) et \(f'(0)\).

Ce sujet de contrôle est un excellent outil de révision pour les élèves de Première en spécialité mathématiques, couvrant des compétences essentielles pour la réussite de l'année et la préparation au baccalauréat.