Contrôle de Mathématiques Première Spécialité : Produit Scalaire et Fonction Exponentielle

Ce sujet de mathématiques de niveau Première spécialité, avec calculatrice autorisée, est une évaluation complète sur les chapitres du produit scalaire et de la fonction exponentielle. D'une durée d'une heure, il est composé de trois exercices distincts qui permettent de vérifier la maîtrise des concepts géométriques et analytiques. Ce contrôle corrigé est un excellent support pour s'entraîner et réviser avant une épreuve. Il aborde des compétences clés telles que la manipulation des vecteurs, la démonstration de l'orthogonalité, l'étude complète de fonctions et l'application des propriétés des suites géométriques.

Exercice 1 : Produit Scalaire dans un Triangle Isocèle (8 points)

Cet exercice de géométrie se concentre sur l'application du produit scalaire dans une configuration précise. On considère un triangle ABC isocèle en A, avec des points supplémentaires D, H, et K définis par des propriétés géométriques (milieu, projeté orthogonal). L'objectif est de mobiliser différentes formules et propriétés du produit scalaire.

• Question 1 : Il s'agit de calculer un premier produit scalaire, \(\vec{AB} \cdot \vec{BD}\), en utilisant la décomposition de vecteurs et les propriétés du triangle.
• Question 2 : Cette question se déroule en deux temps : d'abord, calculer le produit scalaire \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\) en se basant uniquement sur les longueurs, puis en déduire la mesure de l'angle \(\widehat{BAC}\), une application classique de la formule \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos(\theta)\).
• Question 3 : La partie la plus technique de l'exercice. Il faut d'abord démontrer une égalité vectorielle, \(\vec{HK} \cdot \vec{BD} = -\frac{1}{2}DH^2\), en utilisant la projection orthogonale et la relation de Chasles. Ensuite, il est demandé de démontrer une autre égalité, \(\vec{AK} \cdot \vec{HB} = CH^2 + DH^2 - CD^2\), qui, combinée au théorème de Pythagore, permet de conclure à l'orthogonalité des droites (AK) et (HB) en montrant que leur produit scalaire est nul.

Exercice 2 : Étude d'une Fonction Exponentielle (7 points)

Cet exercice propose une mise en situation concrète autour de la découpe de bois. La forme de la découpe est modélisée par la courbe de la fonction \(f(x) = (-x + 2)e^x\) sur l'intervalle \([-1; 2]\).

• Question 1 : Une étude de fonction classique. Il faut calculer la dérivée \(f'(x)\) de la fonction \(f\) (qui est un produit), étudier son signe, et dresser le tableau de variations complet de \(f\) sur l'intervalle donné.
• Question 2 : Il s'agit d'une application directe de l'étude de variations. La largeur de la plaque de bois correspond au maximum de la fonction sur l'intervalle, valeur qu'il faut identifier et calculer.
• Question 3 : Une question standard sur la détermination de l'équation de la tangente à la courbe en un point donné (ici, au point d'abscisse 2), en appliquant la formule \(y = f'(a)(x-a) + f(a)\).

Exercice 3 : Questions Indépendantes sur l'Exponentielle (5 points)

Ce dernier exercice regroupe trois questions indépendantes balayant différentes compétences liées à la fonction exponentielle et aux suites.

• Question 1 : Résolution d'une inéquation de la forme \(2e^{5x^2-1} \le 2e^{3x}\). La résolution passe par l'application de la propriété de croissance de la fonction exponentielle, ce qui ramène le problème à la résolution d'une inéquation du second degré.
• Question 2 : Un calcul de dérivée pour la fonction \(f(x) = \frac{e^{9-8x}}{x^2+3}\). Cet exercice teste la maîtrise de la formule de dérivation d'un quotient et de la dérivation d'une fonction composée de type \(e^{u(x)}\).
• Question 3 : Étude d'une suite \((u_n)\) définie par \(u_n = e^{2-3n}\). Il faut d'abord démontrer qu'il s'agit d'une suite géométrique en précisant sa raison. Ensuite, on demande de retrouver la formule de la somme des termes \(S_n = u_0 + \dots + u_n\), ce qui nécessite d'appliquer la formule de la somme d'une suite géométrique et de manipuler les expressions avec des exponentielles.