Découvrez un sujet de contrôle de mathématiques complet pour le niveau Première Spécialité, accompagné d'une analyse détaillée des compétences requises. Ce sujet, axé sur les chapitres de la dérivation globale, des généralités sur les suites et des probabilités conditionnelles, est un excellent outil de révision. Ce contrôle corrigé vous aidera à vous préparer efficacement aux évaluations en vous confrontant à des exercices types qui balayent une grande partie du programme. Chaque exercice est décortiqué pour mettre en lumière les méthodes et les savoir-faire essentiels à maîtriser.

Exercice 1 : Questionnaire à Choix Multiples (QCM)

Cet exercice est un QCM qui teste des compétences fondamentales sur trois notions distinctes. La justification de chaque réponse est exigée, ce qui oblige à une véritable réflexion et non à une simple devinette.

• Question 1 : Taux de variation. On étudie la fonction \( f(x) = \frac{1 - 2x^2}{x} \). La question porte sur le calcul du taux de variation \( t(h) \) entre 1 et \( 1+h \). Il s'agit d'appliquer la définition : \( t(h) = \frac{f(1+h) - f(1)}{h} \). Cette question est une introduction directe à la notion de nombre dérivé. La résolution demande de la rigueur dans les calculs algébriques pour simplifier l'expression et identifier la bonne réponse parmi les propositions.
• Question 2 : Position relative de deux courbes. On compare une parabole, représentative de la fonction \( f(x) = 2x^2 - 8x + 17 \), et une droite, représentative de \( g(x) = 5x - 3 \). Pour déterminer sur quel intervalle la courbe de \( f \) est au-dessus de celle de \( g \), il faut résoudre l'inéquation \( f(x) > g(x) \). Cela se ramène à l'étude du signe d'un polynôme du second degré, \( 2x^2 - 13x + 20 > 0 \), en calculant son discriminant et ses racines.
• Question 3 : Probabilités et indépendance. Cet item aborde une situation de probabilité simple avec deux épreuves indépendantes (le choix de deux pneus). Connaissant la probabilité \( P(D) = 0.8 \) qu'un pneu n'ait pas de défaut, on cherche la probabilité qu'un seul des deux pneus choisis ait un défaut. Cela revient à considérer les deux scénarios exclusifs : (Défaut sur le 1er ET Pas de défaut sur le 2nd) OU (Pas de défaut sur le 1er ET Défaut sur le 2nd). Grâce à l'indépendance, on calcule \( P(\bar{D}) \times P(D) + P(D) \times P(\bar{D}) \), ce qui correspond à un schéma de Bernoulli.

Exercice 2 : Étude d'une suite numérique

Cet exercice se concentre sur l'analyse complète d'une suite \( (u_n) \) définie de manière explicite par \( u_n = \frac{n+2}{n+1} \). Il permet de vérifier la maîtrise des outils de base de l'étude des suites.

• Questions 1 à 4 : Termes, variations. Les premières questions sont classiques : calcul des premiers termes (\( u_0, u_1, u_2 \)), expression de \( u_{n+1} \), puis calcul de la différence \( u_{n+1} - u_n \). L'étude du signe de cette différence, qui est ici \( \frac{-1}{(n+1)(n+2)} \), permet de déterminer rigoureusement le sens de variation de la suite. Comme la différence est toujours négative, la suite est décroissante.
• Question 5 : Conjecture de limite. À l'aide de la calculatrice, on doit conjecturer la limite de \( (u_n) \). En calculant les termes pour de grandes valeurs de \( n \), on observe que \( u_n \) se rapproche de 1. Cela s'explique par le fait que pour \( n \) grand, \( u_n = \frac{n+2}{n+1} \approx \frac{n}{n} = 1 \).
• Question 6 : Algorithmique et résolution d'inéquation. Cette question mêle programmation et calcul. Il faut d'abord compléter un programme Python qui utilise une boucle `while` pour trouver le plus petit entier \( n \) tel que \( u_n \le 1.021 \). Ensuite, il faut retrouver ce résultat par le calcul en résolvant l'inéquation \( \frac{n+2}{n+1} \le 1.021 \).

Exercice 3 : Application des probabilités conditionnelles

Cet exercice est un problème concret de probabilités conditionnelles dans un contexte industriel (une chocolaterie). Il est idéal pour appliquer la modélisation à l'aide d'arbres pondérés et la formule des probabilités totales.

• Questions 1 et 2 : Arbre pondéré et probabilités totales. La première étape est de traduire l'énoncé en un arbre de probabilités. On utilise ensuite la formule des probabilités totales pour exprimer la probabilité de l'événement "la tablette est commercialisable" (\( P(C) \)) en fonction de la probabilité \( x \) que la tablette vienne de la chaîne A.
• Questions 3 à 5 : Calculs et indépendance. Une valeur de \( P(C) \) est donnée, ce qui permet de calculer \( x \) et donc \( P(A) \) et \( P(B) \). On calcule ensuite une probabilité d'intersection \( P(A \cap C) \) et on teste l'indépendance des événements \( A \) et \( C \) en comparant \( P(A \cap C) \) avec le produit \( P(A) \times P(C) \).
• Questions 6 et 7 : Probabilité inverse et union. La question 6 demande de calculer \( P_C(A) \), c'est-à-dire la probabilité que la tablette provienne de la chaîne A sachant qu'elle est commercialisable. C'est une application directe de la formule des probabilités conditionnelles. Enfin, la dernière question porte sur le calcul de la probabilité d'une union d'événements \( P(A \cup C) \) pour valider ou infirmer une affirmation de la chocolaterie.

Exercice 4 : Étude d'une fonction polynomiale et de ses tangentes

Ce dernier exercice est un problème d'analyse centré sur la dérivation et l'étude des tangentes à la courbe d'une fonction polynomiale du troisième degré, \( g(x) = x^3 - 3x^2 - 9x - 1 \). C'est un excellent problème de synthèse.

• Questions 1 et 2 : Dérivée et coefficient directeur. On commence par calculer la fonction dérivée \( g'(x) \), qui est un polynôme du second degré. On utilise ensuite cette dérivée pour trouver les points de la courbe où la tangente a un coefficient directeur donné, ici -9. Cela revient à résoudre l'équation \( g'(x) = -9 \).
• Question 3 : Tangentes passant par l'origine. C'est le cœur de l'exercice. On cherche les tangentes à la courbe qui passent par le point origine \( O(0,0) \). On établit d'abord la condition analytique pour qu'une tangente au point d'abscisse \( a \), d'équation \( y = g'(a)(x-a) + g(a) \), passe par l'origine. Cette condition est \( g(a) = a \times g'(a) \). La résolution de cette équation, qui est une équation polynomiale de degré 3, permet de trouver les abscisses \( a \) des points de tangence. L'exercice guide la résolution en fournissant une factorisation. Une fois les valeurs de \( a \) trouvées, il ne reste plus qu'à écrire l'équation de chaque tangente correspondante.