5. Variation d'une suite - Méthode de la différence

Introduction

Aujourd'hui, nous allons examiner la technique la plus universelle qui existe pour étudier les variations d'une suite. Nous allons le faire sur trois cas : un cas extrêmement simple, un cas beaucoup plus compliqué et un cas qui semble compliqué mais qui est en réalité très simple.

Technique universelle pour calculer les variations d'une suite

La technique la plus universelle pour calculer les variations d'une suite consiste à étudier le signe de \(u_{n+1} - u_n\). C'est-à-dire que je vais calculer \(u_{n+1}\) et \(u_n\), faire la différence et me demander si c'est positif ou négatif. Attention, il ne s'agit pas d'étudier le signe de \(u_3\) et \(u_4\), ou de \(u_{19}\) et \(u_{20}\), il s'agit d'étudier \(u_{n+1} - u_n\). Il faut absolument que vous gardiez \(u_n\) quand vous le faites.

Exemples

Prenons par exemple la suite \(u_n = 3n + 2\). Pour calculer \(u_{n+1} - u_n\), je remplace \(n\) par \(n+1\) dans \(u_n\), mais je mets les parenthèses parce que mon 3 est multiplié par \(n\) tout entier. Donc, \(u_{n+1} = 3(n+1) + 2 = 3n + 3 + 2 = 3n + 5\). Ensuite, je calcule \(u_{n+1} - u_n = 3n + 5 - (3n + 2) = 3\). Comme 3 est strictement positif, la suite \(u_n\) est croissante. Prenons un deuxième exemple, un peu plus compliqué : \(u_n = (n - 4)^2 - 5\). Pour calculer \(u_{n+1} - u_n\), je remplace \(n\) par \(n+1\) dans \(u_n\), ce qui donne \(u_{n+1} = ((n+1) - 4)^2 - 5 = (n - 3)^2 - 5\). En développant, j'obtiens \(u_{n+1} = n^2 - 6n + 9 - 5 = n^2 - 6n + 4\). Ensuite, je calcule \(u_{n+1} - u_n = n^2 - 6n + 4 - (n^2 - 8n + 11) = 2n - 7\). Pour déterminer le signe de cette expression, je peux faire le tableau de signes de la fonction affine \(2n - 7\). Je trouve que la suite \(u_n\) est décroissante pour \(n < 3.5\) et croissante pour \(n > 3.5\). Cependant, comme \(n\) doit être un entier, je dois vérifier les valeurs de \(u_n\) pour \(n = 3\) et \(n = 4\). Je trouve que \(u_3 = -4\) et \(u_4 = -5\), donc la suite \(u_n\) est en fait décroissante pour \(n \leq 4\) et croissante pour \(n > 4\). Enfin, prenons un troisième exemple, où la suite est définie de manière récurrente : \(u_{n+1} = 1.5u_n - 5\). Pour calculer \(u_{n+1} - u_n\), je soustrais \(u_n\) des deux côtés de l'équation, ce qui donne \(u_{n+1} - u_n = 1.5u_n - 5 - u_n = 0.5u_n - 5\). Comme cette expression est négative, la suite \(u_n\) est décroissante.

Conclusion

La technique universelle pour étudier les variations d'une suite est de calculer \(u_{n+1} - u_n\) et de déterminer ensuite si c'est positif ou négatif. Nous avons examiné trois cas : un cas simple, un cas plus compliqué et un cas où la suite est définie de manière récurrente.