Ce sujet de contrôle de mathématiques pour la Première Spécialité est une excellente ressource pour s'entraîner sur les chapitres de la dérivation et des polynômes du second degré. D'une durée de 1h30 et sans calculatrice, il évalue en profondeur la maîtrise des concepts et des techniques de calcul. Ce corrigé détaillé vous guidera à travers chaque exercice, en mettant l'accent sur les compétences clés attendues.

Exercice 1 : Étude d'une fonction polynôme

Cet exercice aborde les bases de la dérivation sur une fonction polynôme du troisième degré \(f(x) = 2x^3 - 6x - 1\).

• Question 1 : Il s'agit de calculer la fonction dérivée \(f'(x)\). En utilisant les formules de dérivation des puissances de \(x\), on obtient \(f'(x) = 6x^2 - 6\). La compétence de factorisation est ensuite requise pour présenter le résultat sous la forme la plus simple possible : \(f'(x) = 6(x-1)(x+1)\).
• Question 2 : Cette question classique demande de déterminer l'équation de la tangente à la courbe \(C_f\) en un point d'abscisse donné, ici \(a = \frac{1}{2}\). L'application de la formule \(y = f'(a)(x-a) + f(a)\) est indispensable. Il faut calculer \(f(\frac{1}{2})\) et \(f'(\frac{1}{2})\) pour trouver l'équation réduite de la tangente.

Exercice 2 : Maîtrise des techniques de dérivation

Cet exercice technique est un vrai test sur les différentes formules de dérivation. Chaque question porte sur une forme de fonction différente.

• Question 1 : On étudie la fonction \(f(x) = (x^2 + 5)\sqrt{x}\). Il faut ici appliquer la formule de dérivation d'un produit de fonctions \((uv)' = u'v + uv'\). Une fois la dérivée calculée et simplifiée, on doit expliquer pourquoi la courbe n'admet aucune tangente horizontale, ce qui revient à montrer que l'équation \(f'(x)=0\) n'a pas de solution sur l'intervalle \(]0; +\infty[\).
• Question 2 : La fonction \(g(x) = \frac{x^2}{x^2 + 5}\) est un quotient. L'application de la formule de dérivation d'un quotient \((\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\) est nécessaire. Le calcul de l'équation de la tangente en \(x=1\) suit la même méthode que dans l'exercice 1.
• Question 3 : La fonction \(h(x) = \sqrt{5x+6}\) est une fonction composée de la forme \(\sqrt{u(x)}\). Sa dérivée est \(\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}\). La question demande de trouver l'abscisse du point où la tangente est parallèle à la droite d'équation \(y = \frac{5}{8}x + 4\). Cela se traduit par la résolution de l'équation \(h'(x) = \frac{5}{8}\), où \(\frac{5}{8}\) est le coefficient directeur de la droite.

Exercice 3 : Retour à la définition du nombre dérivé

Cet exercice se concentre sur le concept de dérivabilité en un point, une notion fondamentale du chapitre sur la dérivation locale.

• Question 1 : Pour étudier la dérivabilité de \(f(x) = x\sqrt{x}\) en \(0\), il faut revenir à la définition, c'est-à-dire calculer la limite du taux de variation : \(\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}\). Le résultat de cette limite donne le nombre dérivé en \(0\), s'il existe.
• Question 2 : On demande ensuite de calculer la dérivée de \(f\) sur son ensemble de dérivabilité, \(]0, +\infty[\), en utilisant cette fois les formules de dérivation classiques.

Exercice 4 : Problème complet sur le second degré

Cet exercice est un problème de synthèse sur les fonctions polynômes du second degré. Il s'agit de retrouver l'expression d'une fonction à partir de ses propriétés.

• Questions 1 et 2 : À partir des informations \(f(3)=-1\), \(f(5)=-1\) et d'un maximum égal à 1, on peut déduire que la courbe est une parabole tournée vers le bas. L'axe de symétrie a pour équation \(x = \frac{3+5}{2} = 4\). Le sommet de la parabole a donc pour coordonnées \((4, 1)\).
• Question 3 : Ces informations permettent de déterminer la forme canonique de la fonction : \(f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta\), avec \((\alpha, \beta)\) les coordonnées du sommet. En utilisant un des points connus, on détermine la valeur du coefficient \(a\).
• Question 4 : Le développement de la forme canonique permet de retrouver l'expression développée \(f(x) = -2x^2 + 16x - 31\).
• Questions 5 et 6 : La fin de l'exercice consiste à résoudre une équation du second degré (\(f(x) = -7\)) puis une inéquation du second degré (\(f(x) > -7\)), en utilisant le discriminant et le tableau de signe du trinôme.

Exercice 5 : Étude d'une fonction rationnelle

Le dernier exercice porte sur une fonction rationnelle et réinvestit les compétences de dérivation.

• Question 1 : La première étape est de déterminer l'ensemble de définition de \(f(x) = \frac{2x^2 + 1}{3x - 1}\), en excluant la valeur qui annule le dénominateur.
• Question 2 : On justifie la dérivabilité de \(f\) comme quotient de fonctions dérivables, puis on calcule sa dérivée \(f'(x)\) avec la formule appropriée.
• Question 3 : Pour trouver les abscisses des points où la courbe admet une tangente horizontale, il faut résoudre l'équation \(f'(x) = 0\). Pour une fonction rationnelle, cela revient à trouver les racines du numérateur de la dérivée.

Ce sujet de maths type bac blanc pour la Première Spécialité est un excellent moyen de valider ses connaissances avant une évaluation. Le corrigé complet vous aidera à identifier vos points forts et vos axes d'amélioration.