Ce sujet de contrôle de mathématiques pour le niveau Première Spécialité est un excellent entraînement sur les chapitres de la dérivation locale et du produit scalaire. Il est conçu pour évaluer la compréhension des concepts fondamentaux et leur application dans des contextes variés, allant du calcul pur à la résolution de problèmes géométriques. Ce document propose un corrigé détaillé pour chaque exercice, permettant aux élèves de s'auto-évaluer et de progresser. Les mots-clés abordés sont : contrôle corrigé, sujet de maths, Première spécialité, fonction dérivée, nombre dérivé, équation de la tangente, produit scalaire, vecteurs, orthogonalité, relation de Chasles.

Exercice 1 : Étude d'une fonction polynôme et de sa tangente

Cet exercice classique aborde les bases de la dérivation locale avec une fonction polynôme du second degré \( f(x) = x^2 - x - 10 \).

• La première question demande de calculer le nombre dérivé de \(f\) en \(x=5\), c'est-à-dire \(f'(5)\). Il s'agit d'abord de trouver la fonction dérivée \(f'(x)\) puis de la calculer pour la valeur demandée.
• La deuxième question est une application directe du cours : déterminer l'équation réduite de la tangente \(T\) à la courbe de \(f\) au point d'abscisse 5. La formule à utiliser est \( y = f'(a)(x-a) + f(a) \).
• Enfin, la troisième question vérifie la capacité à utiliser l'équation d'une droite en demandant si un point donné \( R(100, -905) \) appartient à la tangente \(T\).

Exercice 2 : Lecture graphique du nombre dérivé

Cet exercice purement graphique teste la compréhension de l'interprétation géométrique du nombre dérivé. La courbe d'une fonction \(g\) est fournie avec plusieurs de ses tangentes en des points spécifiques d'abscisses -3, 0, 2 et 4,5. La tâche consiste à déterminer graphiquement la valeur de \(g'(-3)\), \(g'(0)\), \(g'(2)\) et \(g'(4,5)\) en calculant la pente (le coefficient directeur) de chaque tangente respective.

Exercice 3 : Parallélisme de tangentes

Cet exercice fait le lien entre dérivation et géométrie. On considère deux fonctions, \( f(x) = 4x^2 \) et \( g(x) = \frac{1}{x} \). L'objectif est de démontrer que leurs tangentes respectives au point d'abscisse \( x = \frac{1}{2} \) sont parallèles. Pour ce faire, il faut calculer les nombres dérivés \(f'(\frac{1}{2})\) et \(g'(\frac{1}{2})\) et montrer qu'ils sont égaux, car deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.

Exercice 4 : Vrai ou Faux avec justification

Cet exercice de type Vrai/Faux balaie plusieurs compétences clés des deux chapitres.

• Question 1 : On doit déterminer si deux droites \((AL)\) et \((BR)\) sont perpendiculaires à partir des coordonnées de quatre points. La méthode consiste à calculer les coordonnées des vecteurs \(\vec{AL}\) et \(\vec{BR}\) puis leur produit scalaire. Si le produit scalaire est nul, les droites sont perpendiculaires.
• Question 2 : Il s'agit de calculer la norme du vecteur \(\|\vec{u} - \vec{v}\|\) connaissant les normes \(\|\vec{u}\| = 4\), \(\|\vec{v}\| = 6\) et le produit scalaire \(\vec{u} \cdot \vec{v} = -2\). L'outil principal est l'identité remarquable scalaire : \( \|\vec{u} - \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 - 2\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2 \).
• Question 3 : On évalue la dérivabilité de la fonction inverse composée \( f(x) = \frac{1}{x+2} \) en un point et la valeur de son nombre dérivé.
• Question 4 : Similaire à la question précédente, on teste la connaissance de la dérivée de la fonction racine carrée \( f(x) = \sqrt{x} \) au point \(x=2\).
• Question 5 : Il faut vérifier l'orthogonalité de deux vecteurs dont les coordonnées dépendent d'un paramètre \(m\). On remplace \(m\) par la valeur donnée (-10) et on calcule le produit scalaire.

Exercice 5 : Calcul de produits scalaires géométriques

Cet exercice se concentre sur le calcul du produit scalaire \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\) dans quatre configurations géométriques distinctes. L'enjeu est de choisir la méthode la plus efficace pour chaque cas :

• Utilisation de la formule avec le cosinus de l'angle : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos(\theta)\)
• Utilisation de la projection orthogonale : \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AB} \cdot \vec{AH}\) où H est le projeté de C sur (AB).
• Utilisation des coordonnées dans un repère bien choisi.

Chaque figure (a, b, c, d) invite à une stratégie différente pour un calcul optimal.

Exercice 6 : Problème de géométrie avec produit scalaire

Cet dernier exercice est un problème de synthèse se déroulant dans un rectangle \(ABCD\). Un point \(M\) mobile sur le segment \([AB]\) est défini par \(AM=x\). L'objectif est de résoudre des questions géométriques en utilisant le produit scalaire.

• Question 1 : Démontrer une égalité \(\vec{MD} \cdot \vec{AC} = 4 - 5x\) (en corrigeant une coquille de l'énoncé) en utilisant la relation de Chasles ou les coordonnées.
• Question 2 : Trouver la valeur de \(x\) pour laquelle les droites \((MD)\) et \((AC)\) sont perpendiculaires. Cela revient à résoudre l'équation \(\vec{MD} \cdot \vec{AC} = 0\).
• Question 3 : Démontrer une autre égalité \(\vec{MD} \cdot \vec{MC} = x^2 - 5x + 4\).
• Question 4 : Déterminer pour quelle(s) valeur(s) de \(x\) le triangle \(MCD\) est rectangle en \(M\). Cela revient à résoudre l'équation \(\vec{MD} \cdot \vec{MC} = 0\), qui est une équation du second degré.

Ce contrôle corrigé est une ressource complète pour réviser la dérivation et le produit scalaire en Première.