Introduction
Allez les amis, on est parti pour évoluer un tout petit peu en difficulté et voir comment dériver des fonctions inverses et des fonctions racines simples. Les règles de calcul restent les mêmes que quand vous devez dériver une fonction polynomiale.
Exemple 1
Je vous donne un exemple tout bête : \(f(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x}\). Donc \(f(x)\) est égale à une fonction plus une autre fonction. Donc quand je vais dériver une fonction plus une autre fonction, je dois dériver d'abord la première plus la dérivée de la deuxième. Donc \(f'(x)\) vaut la dérivée de \(\sqrt{x}\) plus la dérivée de \(\frac{1}{x}\).
Je vois mon tableau que j'appelle par cœur et que j'ai fiché. Fichez-le franchement, c'est le bas de fiches ce truc là parce que vous allez le voir tout le temps. Elles se ressemblent, les deux dérivées, donc vraiment fichez-le. La dérivée de \(\sqrt{x}\) est \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\) et la dérivée de \(\frac{1}{x}\) est \(-\frac{1}{x^2}\). J'encadre, je prends le point et ça ne va pas plus loin que ça.
Exemple 2
On complique un tout petit peu. J'ai \(f(x) = 2\sqrt{x} + \frac{3}{x}\). Donc là, je vais faire une légère modification. Pourquoi ? Parce que \(2\sqrt{x}\) vient assez facilement. Quand vous allez vouloir dériver \(2\sqrt{x}\), vous cachez le 2, vous dérivez \(\sqrt{x}\) et ça fait \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\).
Par contre, pour \(\frac{3}{x}\), vous vous dites : "Je regarde mon tableau, moi j'ai pas \(\frac{3}{x}\), c'est \(\frac{1}{x}\)". Donc si j'avais trois fois \(\frac{1}{x}\), éventuellement je pourrais faire quelque chose. Mais j'ai \(\frac{3}{x}\), oui, sauf que \(\frac{3}{x}\) c'est trois fois \(\frac{1}{x}\). Et avec ce petit jeu d'écriture, vous venez de faire apparaître votre \(\frac{1}{x}\).
Du coup, maintenant, pour dériver, j'ai pris mon exemple. Donc je cache la dérivée de \(\sqrt{x}\), ça fait \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\). Je multiplie par 2, ça fait \(\frac{2}{2\sqrt{x}}\). La dérivée de \(\frac{1}{x}\) c'est \(-\frac{1}{x^2}\) et je multiplie tout par 3, donc ça fait \(-\frac{3}{x^2}\). J'encadre et c'est plié, c'est aussi simple que ça.
Exemple 3
On continue. C'est là où vous savez que vous allez vous retrouver avec des \(\sqrt{2x}\) et des \(\frac{1}{x}\) qu'il va falloir travailler un peu. Est-ce que vous êtes d'accord avec moi que \(\frac{\sqrt{x}}{3}\) c'est comme \(\frac{1}{3}\sqrt{x}\) et que \(\frac{1}{2x}\) c'est comme \(\frac{1}{2} \times \frac{1}{x}\) ?
Du coup, ça me fait \(-\frac{1}{3}\sqrt{x} + \frac{1}{2x}\). Avec ce petit jeu d'écriture, je suis ramené à une constante fois \(\sqrt{x}\) plus une constante fois \(\frac{1}{x}\). Donc je peux dériver d'abord ça puis ça en utilisant les deux formules qui sont là.
Donc \(f'(x)\) vaut donc la dérivée de \(\sqrt{x}\) donc \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\) fois \(-\frac{1}{3}\) et la dérivée de \(\frac{1}{x}\) est \(-\frac{1}{x^2}\) et je multiplie par \(\frac{1}{2}\). Donc ça me fait \(-\frac{1}{3} \times \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2} \times \frac{1}{x^2}\).
Je peux même tout mettre sur le même dénominateur. Donc ça me fait \(-\frac{1}{6\sqrt{x}} - \frac{1}{2x^2}\). J'encadre et c'est terminé. On a mis les exercices en dessous. L'objectif est d'en faire au moins deux ou trois de suite qui soient justes et ensuite vous passez à la suite.