Ce sujet de contrôle de mathématiques pour la Première Spécialité porte sur deux chapitres clés du programme : les probabilités conditionnelles et la dérivation locale. D'une durée d'une heure, il est composé de quatre exercices qui balayent les compétences essentielles de ces notions. Vous y trouverez des exercices types sur les arbres pondérés, les tableaux de contingence, les épreuves répétées et une application géométrique de la dérivation avec les tangentes. Ce document, accompagné de son corrigé détaillé, est une excellente ressource pour s'entraîner et réviser avant une évaluation.

Les exercices proposés permettent de travailler en profondeur la modélisation de situations aléatoires et l'interprétation des résultats, ainsi que la maîtrise du concept de nombre dérivé et de son application dans la détermination d'équations de tangente.

Exercice 1 : Probabilités conditionnelles avec un arbre pondéré (6 points)

Cet exercice est un classique sur les probabilités conditionnelles. Le contexte est celui d'une jardinerie s'approvisionnant chez trois horticulteurs A, B et C, chacun fournissant des proportions différentes de fleurs et d'arbres. L'objectif est de modéliser cette situation pour répondre à diverses questions de probabilité.

• Question 1 : La première étape consiste à construire un arbre pondéré. Les premières branches représentent les fournisseurs (A, B, C) avec leurs probabilités respectives \(P(A)=0.35\), \(P(B)=0.25\) et \(P(C)=1-0.35-0.25=0.40\). À partir de chaque fournisseur, deux nouvelles branches représentent les types d'articles : fleur (F) ou arbre (\(\bar{F}\)), pondérées par les probabilités conditionnelles données (\(P_A(F)=0.80\), \(P_B(F)=0.50\), etc.).
• Question 2 : On demande de calculer la probabilité de l'intersection de deux événements : "l'article provient de A ET est une fleur". En utilisant l'arbre, on multiplie les probabilités le long de la branche correspondante : \(P(A \cap F) = P(A) \times P_A(F)\).
• Question 3 : Pour calculer la probabilité de l'événement F ("l'article est une fleur"), il faut appliquer la formule des probabilités totales. On additionne les probabilités de tous les chemins menant à F : \(P(F) = P(A \cap F) + P(B \cap F) + P(C \cap F)\).
• Question 4 : Cette question teste la compréhension de l'indépendance de deux événements. A et F sont indépendants si et seulement si \(P(A \cap F) = P(A) \times P(F)\). Il suffit de comparer les valeurs calculées aux questions précédentes.
• Question 5 : Il s'agit d'un calcul de probabilité conditionnelle "inversée". On cherche la probabilité que l'article vienne de A sachant que c'est une fleur, soit \(P_F(A)\). On utilise la définition : \(P_F(A) = \frac{P(A \cap F)}{P(F)}\).
• Question 6 : Une question de lecture directe de l'énoncé ou de l'arbre, permettant de vérifier la bonne compréhension de la notation des probabilités conditionnelles : \(P_A(F)\).

Exercice 2 : Lecture de probabilités dans un tableau (5 points)

Cet exercice aborde les mêmes notions que le premier, mais à partir d'un tableau de contingence (ou tableau à double entrée). Les données concernent les 99 adhérents d'un club de danse, répartis selon leur sexe (Femme/Homme) et leur statut (Professionnel/Amateur).

• Question 1 : Calcul de probabilités simples à partir des effectifs du tableau. Par exemple, \(P(F) = \frac{\text{Total Femmes}}{\text{Total Adhérents}}\).
• Question 2 : Calcul de la probabilité d'une union d'événements. Pour calculer P(Homme ou Amateur), on utilise la formule \(P(H \cup A) = P(H) + P(A) - P(H \cap A)\), en trouvant chaque probabilité à partir des effectifs du tableau.
• Question 3 : Calcul d'une probabilité conditionnelle directement depuis le tableau. "Probabilité d'être une femme sachant que l'adhérent est professionnel" se calcule en restreignant l'univers aux professionnels : \(P_{non-A}(F) = \frac{\text{Nombre de Femmes Professionnelles}}{\text{Total de Professionnels}}\).
• Question 4 : Test d'indépendance, similaire à l'exercice 1, en vérifiant si l'égalité \(P(F \cap A) = P(F) \times P(A)\) est vraie.

Exercice 3 : Épreuves répétées et loi binomiale (6 points)

Cet exercice explore la notion d'épreuves indépendantes et identiques (schéma de Bernoulli) à travers le lancer répété d'un dé à quatre faces.

• Question 1 : De nouveau, la construction d'un arbre pondéré est demandée pour modéliser les trois lancers successifs. Chaque niveau de l'arbre représente un lancer, avec les issues "obtenir 1" (probabilité 1/4) et "ne pas obtenir 1" (probabilité 3/4).
• Question 2 : On calcule la probabilité d'obtenir trois fois le résultat 1. Comme les lancers sont indépendants, on multiplie les probabilités : \(P(S_1 \cap S_2 \cap S_3) = (\frac{1}{4})^3\).
• Question 3 : La probabilité d'obtenir "au moins un résultat différent de 1" est plus simple à calculer en passant par l'événement contraire, qui est "obtenir que des 1". La probabilité est donc \(1 - P(\text{obtenir que des 1})\).
• Question 4 : Une question simple sur l'indépendance des lancers. La probabilité d'obtenir 1 au dernier lancer ne dépend pas des lancers précédents, c'est donc simplement \(P(S_3) = 1/4\).
• Question 5 : Cette question introduit une recherche de seuil. On cherche le nombre minimal de lancers \(n\) pour que la probabilité de n'obtenir que des 1, soit \((\frac{1}{4})^n\), devienne inférieure à 0.001. Cela se résout en testant des valeurs de \(n\) ou en utilisant la fonction logarithme : \(n \ln(\frac{1}{4}) < \ln(0.001)\).

Exercice 4 : Dérivation et équation de tangente (3 points)

Le dernier exercice est une application de la dérivation. Il s'agit de trouver les valeurs d'un paramètre \(m\) pour qu'une droite donnée soit tangente à une parabole dépendant de ce paramètre.

La droite \((T)\) a pour équation \(y = 2x + 1\) et la famille de paraboles \(P_m\) a pour équation \(y = f_m(x) = mx^2\). Pour que \((T)\) soit tangente à \(P_m\) en un point d'abscisse \(a\), deux conditions doivent être remplies simultanément :

1. Le point de contact appartient à la fois à la droite et à la courbe : \(f_m(a) = 2a + 1\).
2. Le coefficient directeur de la tangente en \(a\), qui est le nombre dérivé \(f'_m(a)\), doit être égal au coefficient directeur de la droite \((T)\), qui est 2. Donc, \(f'_m(a) = 2\).

La résolution passe par le calcul de la fonction dérivée de \(f_m(x)\), soit \(f'_m(x) = 2mx\). On résout ensuite le système de deux équations à deux inconnues (\(a\) et \(m\)) pour trouver la ou les valeurs de \(m\) qui satisfont ces conditions. C'est un excellent problème de synthèse sur le chapitre de la dérivation.