8. Projection orthogonale avec les produits scalaires

Introduction

Bonjour à tous, nous allons voir comment gérer le produit scalaire grâce aux projections orthogonales. Le produit scalaire est une opération fondamentale en géométrie vectorielle.

Projection orthogonale et produit scalaire

Supposons que nous ayons un vecteur \(u\) et un vecteur \(v\) disposés de la manière suivante. Plutôt que de calculer le produit scalaire directement, nous pouvons projeter le vecteur \(u\) orthogonalement sur \(v\). Cela nous donne un nouveau vecteur que nous appellerons \(w\). Ainsi, au lieu de calculer le produit scalaire \(u \cdot v\), nous avons le droit de calculer \(w \cdot v\). Cela peut sembler compliqué au premier abord, mais vous verrez à quel point c'est puissant.

Exemples

Prenons un exemple. Supposons que nous ayons un vecteur \(v\) que nous projetons orthogonalement sur \(u\). Ce qui reste est le vecteur \(w\). Donc, le produit scalaire \(v \cdot u\) est équivalent au produit scalaire \(w \cdot u\). Maintenant, nous pouvons utiliser la formule des normes. Cela donne \(||u|| \times ||w|| \times \cos(\theta)\), où \(\theta\) est l'angle entre \(u\) et \(w\). Dans notre cas, \(||u|| = 7\), \(||w|| = 1\) et \(\theta = \pi\), donc \(\cos(\theta) = -1\). Par conséquent, le produit scalaire est \(-7\). Prenons un autre exemple avec les vecteurs \(w\) et \(r\). Nous projetons \(w\) sur \(r\) pour obtenir un nouveau vecteur. En utilisant la formule des normes, nous obtenons \(||r|| \times ||w|| \times \cos(\theta)\). Dans ce cas, \(||r|| = 7\) et \(\theta = 0\), donc \(\cos(\theta) = 1\). Pour trouver \(||w||\), nous utilisons le théorème de Pythagore, ce qui donne \(||w|| = 4\). Par conséquent, le produit scalaire est \(4\). Enfin, prenons l'exemple des vecteurs \(x\) et \(v\). Nous projetons \(x\) sur \(v\) pour obtenir un nouveau vecteur. En utilisant la formule des normes, nous obtenons \(||v|| \times ||x|| \times \cos(\theta)\). Dans ce cas, \(||v|| = 7\), \(||x|| = 8\) et \(\theta = 0\), donc \(\cos(\theta) = 1\). Par conséquent, le produit scalaire est \(56\).

Conclusion

La difficulté dans la projection orthogonale est vraiment de savoir lire visuellement. Je vous encourage à vous entraîner avec de nombreux exemples pour maîtriser cette technique.