Sujet Corrigé de Mathématiques - Niveau Première

Ce devoir commun de mathématiques de niveau Première (sans spécialité) est un excellent support pour s'entraîner et réviser plusieurs chapitres clés du programme. D'une durée de 2 heures, ce sujet balaye les automatismes, les probabilités, les fonctions polynômes du second degré et les suites numériques. Téléchargez ce contrôle corrigé pour vous préparer efficacement.

Première Partie : Évaluation des Automatismes

Cette première section, notée sur 6 points, vise à tester la maîtrise des savoir-faire de base à travers une série de 12 questions rapides ne nécessitant pas de justification. C'est l'occasion de vérifier sa rapidité et sa précision sur des calculs fondamentaux.

• Pourcentages et Taux d'Évolution : Les trois premières questions portent sur les pourcentages, un automatisme essentiel. Elles abordent le calcul d'une baisse de prix, la détermination d'un taux d'évolution à partir de valeurs initiale et finale, et le calcul d'un taux d'évolution global après deux hausses successives. Par exemple, pour un prix subissant deux hausses de 10%, le coefficient multiplicateur global est \(1,10 \times 1,10 = 1,21\), soit une hausse de 21%.
• Polynômes et Fonctions : Les questions 4, 6, 8 et 9 testent les bases des fonctions du second degré. On y trouve la résolution d'une équation produit telle que \((x-3)(2x+10)=0\), le développement d'une expression comme \((2x-1)(x+3)\), la détermination de l'abscisse du sommet d'une parabole définie par ses racines (\(y = (x-1)(x-5)\)), et la résolution graphique d'une équation \(g(x)=0\).
• Suites Numériques : La question 5 demande de calculer le terme \(u(2)\) d'une suite géométrique de premier terme \(u(0)=8\) et de raison \(q=1,5\). Un calcul simple mais fondamental : \(u(2) = u(0) \times q^2\).
• Géométrie Analytique et Statistiques : Les questions restantes couvrent le calcul du coefficient directeur d'une droite, la détermination de la médiane d'une série statistique, et le calcul de coordonnées d'un point moyen.
• Probabilités : La dernière question est une application directe de la formule des probabilités conditionnelles : calculer \(P_B(A)\) connaissant \(P(B)\) et \(P(A \cap B)\).

Deuxième Partie : Exercices d'Application

Exercice 1 : Pierre-feuille-ciseaux contre le robot (Probabilités)

Cet exercice de probabilités modélise un jeu de pierre-feuille-ciseaux contre un robot, répété trois fois. Il s'agit d'une situation classique de répétition d'expériences identiques et indépendantes (schéma de Bernoulli).

• La première question consiste à justifier que la probabilité de gagner une manche est de \(P(G) = \frac{1}{3}\).
• Il est ensuite demandé de construire un arbre pondéré pour représenter les trois manches, un outil visuel indispensable pour structurer le raisonnement.
• Les questions suivantes s'appuient sur cet arbre pour calculer des probabilités d'intersections d'événements : la probabilité de gagner les trois manches, puis celle de gagner exactement une manche.
• L'exercice se conclut sur le calcul de la probabilité de gagner "au moins une manche" en utilisant astucieusement la probabilité de l'événement contraire (ne gagner aucune manche), et sur une question d'interprétation pour valider la compréhension du résultat.

Exercice 2 : Le jet d'eau du bassin (Polynôme du second degré)

Cet exercice est une étude de fonction complète portant sur un polynôme du second degré qui modélise la hauteur d'un jet d'eau : \(h(x) = -0,5x^2 + 3x\). C'est un problème concret typique du chapitre.

• L'analyse commence par le calcul d'images et la démonstration d'une forme factorisée : \(h(x) = 0,5x(6-x)\).
• Cette forme factorisée permet de résoudre l'équation \(h(x)=0\) pour trouver les points où le jet touche l'eau, et d'en déduire par symétrie l'abscisse du sommet de la parabole.
• Le calcul du maximum de la fonction donne la hauteur maximale atteinte par le jet d'eau.
• Un tableau de variation complet de la fonction sur son domaine d'étude est demandé, synthétisant le sens de variation de la hauteur.
• Enfin, une question de mise en situation demande de vérifier si le jet d'eau passe au-dessus d'une statue, ce qui revient à comparer l'image \(h(5)\) à la hauteur de la statue.

Exercice 3 : Les panneaux solaires de la commune (Suites Numériques)

Ce dernier exercice est un problème de modélisation sur les suites arithmétiques et géométriques. Il s'agit de comparer deux scénarios d'évolution pour la production d'électricité de panneaux solaires.

• L'exercice débute par des calculs de taux d'évolution, liant le chapitre sur les pourcentages à celui des suites.
• Le premier modèle suppose une augmentation annuelle de 10%, ce qui conduit à une suite géométrique. Il faut identifier sa nature, sa raison, et donner sa forme explicite \(p(n) = 121 \times (1,1)^n\).
• Le second modèle propose une hausse annuelle fixe de 12 MWh, correspondant à une suite arithmétique \(m(n) = 121 + 12n\).
• Le cœur du problème est la comparaison de ces deux modèles : on calcule les premiers termes pour voir lequel croît le plus vite au début, puis on utilise les propriétés des suites pour déterminer lequel est le plus avantageux à long terme (en 2032). Cet exercice illustre la croissance exponentielle de la suite géométrique face à la croissance linéaire de la suite arithmétique.

Ce sujet de maths est donc très complet et constitue une excellente ressource pour les élèves de Première souhaitant s'évaluer sur les probabilités, les suites et le second degré.