Obtenez un sujet de contrôle complet pour la classe de Première en spécialité mathématiques, centré sur le chapitre crucial des polynômes du second degré. Ce document de 2 pages, prévu pour une durée de 1h30 et sans calculatrice, constitue un excellent outil de révision et d'évaluation. Il balaye l'ensemble des compétences fondamentales liées à l'étude des fonctions polynômes du second degré et de leurs représentations graphiques, les paraboles.

Ce sujet de maths, idéal pour se préparer à une évaluation, est structuré en quatre exercices de difficulté progressive. Il teste à la fois les connaissances directes du cours, la capacité de raisonnement et la résolution de problèmes en contexte. Découvrez ci-dessous une analyse détaillée de chaque exercice pour vous guider dans votre préparation.

Exercice 1 : Dix questions sur les paraboles (réponses courtes)

Ce premier exercice est un questionnaire à réponses courtes (QRC) conçu pour vérifier rapidement la maîtrise des savoir-faire de base sur les polynômes du second degré. Chaque question cible une compétence spécifique :

• Développement : Savoir développer et réduire une expression factorisée comme \((x - 3)(x + 5)\).
• Racines : Identifier immédiatement les racines d'un polynôme donné sous sa forme factorisée, par exemple \(f(x) = 2(x - 1)(x + 6)\).
• Signe d'un polynôme : Déterminer le signe d'une expression du second degré pour une valeur donnée, comme \((x - 2)(x - 6)\) lorsque \(x = 3\).
• Sommet et forme canonique : Trouver les coordonnées du sommet d'une parabole simple comme \(y = x^2 - 1\), ce qui fait appel à la reconnaissance d'une forme canonique.
• Orientation de la parabole : Savoir si une parabole, telle que \(y = -3x^2\), est tournée vers le haut ou vers le bas en se basant sur le signe du coefficient dominant.
• Axe de symétrie : Donner l'équation de l'axe de symétrie à partir de la forme factorisée, par exemple pour \(g(x) = (x - 1)(x - 5)\).
• Équations du second degré : Résoudre des équations de base comme \(x^2 = 49\).
• Identités remarquables : Factoriser une expression en utilisant les identités remarquables, ici \(x^2 - 9\).
• Expression à partir des racines : Reconstruire l'expression d'une fonction polynôme à partir de ses racines connues (0 et 4).
• Propriétés de symétrie : Utiliser l'axe de symétrie d'une parabole pour trouver les coordonnées d'un point symétrique à un autre, à partir du sommet \(S(2; -3)\) et d'un point \(A(5; 6)\).

Exercice 2 : Le câble de la passerelle

Cet exercice est une mise en situation concrète qui modélise la forme d'un câble de passerelle par une fonction polynôme du second degré : \(c(x) = 0,01x^2 + 1,5\). Il s'agit d'un problème complet qui évalue la capacité à appliquer les outils d'analyse à un contexte réel.

Les questions amènent l'élève à :

1. Calculer des images (\(c(0)\) et \(c(30)\)) et surtout à interpréter physiquement ces résultats dans le contexte de la passerelle (hauteur minimale, hauteur aux pylônes).
2. Utiliser la parité de la fonction pour justifier que \(c(-20) = c(20)\), ce qui correspond à la symétrie de la parabole.
3. Résoudre une équation du second degré de la forme \(c(x) = k\) pour trouver les abscisses correspondant à une hauteur donnée (\(c(x)=5,5\)).
4. Dresser le tableau de variation de la fonction sur son intervalle de définition \([-30; 30]\), en identifiant le minimum.
5. Résoudre une inéquation du second degré \(c(x) \ge 2,5\). Cet item est décomposé en deux sous-questions : d'abord, prouver que l'inéquation est équivalente à \((x - 10)(x + 10) \ge 0\), puis la résoudre à l'aide d'un tableau de signes pour enfin interpréter la solution en termes de zones où une bannière peut être suspendue.

Exercice 3 : Cinq affirmations sur les paraboles (vrai ou faux)

Cet exercice de type 'vrai ou faux' avec justification est un excellent moyen de sonder la compréhension profonde des concepts. Il ne suffit pas d'appliquer une formule, il faut raisonner et argumenter.

• Affirmation 1 : Tester la capacité à déterminer si une fonction admet un maximum ou un minimum en se basant sur le signe de \(a\) dans l'expression \(f(x) = -2(x - 1)(x + 3)\).
• Affirmation 2 : Vérifier la connaissance du lien entre les solutions de l'équation \(f(x)=0\) et les points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses. Ici, pour \(y = x^2 + 3\), on analyse le signe du discriminant ou on résout \(x^2 = -3\).
• Affirmation 3 : Évaluer la maîtrise du calcul de l'abscisse du sommet d'une parabole à partir de ses racines : \(\alpha = (x_1+x_2)/2\) pour \(g(x) = (x-2)(x-8)\).
• Affirmation 4 : Analyser le signe d'un polynôme sur un intervalle. L'affirmation '\((x+1)(x-4)\) est positif pour tout réel \(x > -1\)' est un piège classique qui nécessite de bien connaître la règle du signe d'un trinôme.
• Affirmation 5 : Reconnaître l'équivalence entre la forme développée \(u(x) = x^2 - 2x - 3\) et la forme factorisée \(v(x) = (x-3)(x+1)\).

Exercice 4 : Étude d'une forme factorisée

Le dernier exercice est une étude de fonction classique et complète. Partant d'une fonction donnée sous sa forme factorisée \(f(x) = 2(x + 1)(x - 3)\), l'élève est guidé à travers les étapes clés de l'analyse d'un polynôme du second degré.

1. Passage d'une forme à l'autre : Développer la forme factorisée pour obtenir la forme développée.
2. Racines et tableau de signes : Identifier les racines et dresser le tableau de signes complet de la fonction \(f(x)\).
3. Résolution d'équation et symétrie : Résoudre l'équation \(f(x) = -6\). Les solutions de cette équation permettent ensuite de trouver l'axe de symétrie de la parabole, illustrant que le milieu des abscisses de deux points ayant la même ordonnée se trouve sur cet axe.
4. Sommet et tableau de variations : Utiliser l'axe de symétrie pour trouver l'abscisse du sommet, calculer son ordonnée et finalement dresser le tableau de variations complet de la fonction.

En conclusion, ce sujet de maths de Première est un excellent entraînement qui couvre toutes les facettes du chapitre sur les polynômes du second degré : calcul algébrique, résolution d'équations et inéquations, étude de fonctions (signe, variations, extremum) et application à des problèmes concrets.