Analyse du Contrôle de Mathématiques : Automatismes (Niveau Première)

Ce document est un sujet de contrôle sur les automatismes pour le niveau Première en spécialité mathématiques. D'une durée de 45 minutes et sans calculatrice, il vise à évaluer la maîtrise des compétences de base essentielles. Ce type d'évaluation est crucial pour s'assurer que les acquis des années précédentes (notamment la Seconde) sont solides avant d'aborder des chapitres plus complexes. Ce sujet de maths corrigé est une excellente ressource pour s'entraîner et réviser.

Exercice 1 : Automatismes sur les Évolutions

Cette première partie évalue la compréhension des pourcentages et des taux d'évolution, des compétences fondamentales en mathématiques appliquées.

• Question 1 : Calcul d'une augmentation de 5% sur un prix de 120€. Il s'agit d'appliquer le coefficient multiplicateur associé à une hausse : \(V_{final} = V_{initial} \times (1 + \frac{t}{100})\). Ici, \(120 \times (1 + 0,05) = 126€\).
• Question 2 : Détermination d'un taux d'évolution en pourcentage lors d'un passage de 40 à 30. La formule du taux d'évolution est \(t = \frac{V_{final} - V_{initial}}{V_{initial}} \times 100\). Cela donne \(\frac{30 - 40}{40} \times 100 = -25\%\).
• Question 3 : Calcul du taux d'évolution global après deux évolutions successives (une baisse de 10% suivie d'une hausse de 10%). On utilise le produit des coefficients multiplicateurs : \(CM_{global} = CM_1 \times CM_2 = (1 - 0,10) \times (1 + 0,10) = 0,9 \times 1,1 = 0,99\). Le taux global est donc de \(0,99 - 1 = -0,01\), soit une baisse de 1%.
• Question 4 : Recherche du taux d'évolution réciproque. Diviser un prix par deux correspond à une baisse de 50%, soit un coefficient multiplicateur \(CM = 0,5\). Le coefficient réciproque \(CM'\) doit vérifier \(CM \times CM' = 1\), donc \(CM' = \frac{1}{0,5} = 2\). Cela correspond à une hausse de 100%.

Exercice 2 : Calcul Algébrique et Signe

Ce deuxième exercice se concentre sur la manipulation d'expressions algébriques, la résolution d'équations et d'inéquations, et l'étude de signe, compétences au cœur du programme de Première.

• Question 5 : Résolution d'une équation produit-nul : \((2x + 1)(x - 3) = 0\). Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. On résout donc \(2x+1=0\) et \(x-3=0\), ce qui donne les solutions \(x = -\frac{1}{2}\) et \(x = 3\).
• Question 6 : Résolution d'une inéquation du premier degré : \(2x - 8 < 0\). On isole \(x\) pour obtenir \(2x < 8\), soit \(x < 4\). L'ensemble des solutions est l'intervalle \(]-\infty; 4[\).
• Question 7 : Étude du signe d'un produit de facteurs du premier degré, \((x-1)(x-5)\), sur un intervalle donné. Il s'agit d'un polynôme du second degré dont les racines sont 1 et 5. La parabole est tournée vers le haut, donc le polynôme est négatif entre ses racines. Sur l'intervalle \(]1; 5[\), le signe est donc négatif.
• Question 8 : Développement et réduction de l'expression \((2x - 1)(2x + 1)\). C'est une application directe de l'identité remarquable \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\), qui donne \((2x)^2 - 1^2 = 4x^2 - 1\).
• Question 9 : Factorisation de \(x^2 + 6x + 9\). On reconnaît l'identité remarquable \(a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2\), avec \(a=x\) et \(b=3\). L'expression se factorise en \((x+3)^2\).

Exercice 3 : Tableaux Croisés et Probabilités

Cette partie aborde la lecture et l'interprétation de données présentées dans un tableau à double entrée, ainsi que le calcul de probabilités simples et conditionnelles.

• Questions 10-14 : L'exercice s'appuie sur un tableau répartissant 200 participants selon le sexe et l'âge. Il faut d'abord compléter le tableau, puis calculer des fréquences (probabilités). On calcule la probabilité d'une intersection \(P(F \cap J)\) et une probabilité conditionnelle \(P_F(J)\), la probabilité que le participant ait moins de 30 ans sachant que c'est une femme. Ces questions testent la capacité à passer des effectifs aux probabilités et à comprendre la notion de conditionnement.

Exercice 4 : Fonctions et Droites

La dernière partie est une évaluation des compétences en lecture graphique et en géométrie analytique, spécifiquement sur les fonctions et les droites.

• Question 15 : Résolution graphique de l'équation \(f(x) = 1,5\). Il faut repérer sur le graphique les points de la courbe ayant une ordonnée de 1,5 et lire leurs abscisses.
• Question 16 : Résolution graphique de l'inéquation \(f(x) \ge 0\). Il s'agit de déterminer les intervalles d'abscisses pour lesquels la courbe de la fonction est située au-dessus ou sur l'axe des abscisses.
• Question 17 : Détermination de l'équation réduite d'une droite \((d)\) tracée. On identifie l'ordonnée à l'origine \(p\) (point d'intersection avec l'axe des ordonnées) et le coefficient directeur \(m\) (pente de la droite) par lecture graphique.
• Question 18 : Calcul du coefficient directeur d'une droite passant par deux points \(A(x_A; y_A)\) et \(B(x_B; y_B)\) via la formule \(m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\).
• Question 19 : Tracé de la droite d'équation \(y = -2x + 3\). On peut utiliser l'ordonnée à l'origine (le point \((0,3)\)) et le coefficient directeur (on se décale de 1 vers la droite et on descend de 2) pour la tracer.
• Question 20 : Calcul de l'image d'un nombre par une fonction affine. Pour \(g(x) = -4x + 5\), l'image de 3 est \(g(3) = -4(3) + 5 = -12 + 5 = -7\).