Exercice 1 : La droite d'étalonnage (8 points)

Cet exercice est une application classique des statistiques à deux variables dans un contexte de chimie. Pour doser un colorant dans un effluent industriel, on étudie la relation entre la concentration c du colorant et l'absorbance A de la solution, une relation typiquement linéaire dans un certain domaine. Ce sujet de maths aborde l'ajustement affine de manière très concrète.

• Question 1 : Le point de départ est le calcul des coordonnées du point moyen G du nuage de points, à partir des six mesures du tableau. On calcule la moyenne des concentrations et la moyenne des absorbances : \(\bar{c} = \frac{30}{6} = 5\) et \(\bar{A} = \frac{2{,}52}{6} = 0{,}42\), d'où \(G(5 ; 0{,}42)\).
• Question 2 : Il est demandé d'utiliser la calculatrice pour déterminer l'équation de la droite d'ajustement affine de A en fonction de c, coefficients arrondis à \(10^{-3}\) près. On obtient \(A = 0{,}084c + 0{,}000\), c'est-à-dire \(A = 0{,}084c\). Le corrigé propose un contrôle rapide : la droite passe bien par \(G\), puisque \(0{,}084 \times 5 = 0{,}42\).
• Question 3 : On retient le modèle \(A = 0{,}084c\), qui est une fonction linéaire, et l'on vérifie sa cohérence avec la mesure faite pour \(c = 6\) mg/L. Le modèle donne \(0{,}504\) pour une valeur mesurée de \(0{,}51\) : l'écart d'environ 1 % confirme la pertinence du modèle.
• Question 4 : Cette question fait appel au bon sens physique. Une solution de concentration nulle (\(c=0\)) ne contient pas de colorant : elle n'absorbe pas la lumière et son absorbance est nulle (\(A=0\)). Il est donc logique que la droite passe par l'origine du repère, ce que confirme l'ordonnée à l'origine nulle trouvée à la calculatrice.
• Question 5 : C'est une application directe du modèle. À partir d'une absorbance mesurée \(A=0{,}45\), on retrouve la concentration en résolvant l'équation du premier degré \(0{,}084c = 0{,}45\), soit \(c = \frac{0{,}45}{0{,}084} \approx 5{,}36\) mg/L. C'est le calcul d'un antécédent par la fonction modèle.
• Question 6 : L'exercice se conclut par une prise de décision. La norme de rejet impose une concentration inférieure à 5 mg/L ; or \(5{,}36 > 5\), le prélèvement n'est donc pas conforme. Le dépassement est modeste, environ 7 %, mais il est réel.

Exercice 2 : Le prélèvement du bassin n° 4 (6 points)

Cet exercice pousse plus loin l'analyse critique d'un modèle mathématique et de son domaine d'application. Le constructeur du spectrophotomètre précise que l'étalonnage n'est valable que pour une absorbance comprise entre \(0{,}05\) et \(0{,}90\). Or le prélèvement du bassin n° 4 donne une absorbance de \(1{,}30\), et le technicien de garde conclut, d'après la droite d'étalonnage, à une concentration de 15,5 mg/L, trois fois au-dessus de la norme. Ce type de problème, qui souligne l'importance de bien utiliser les outils statistiques, est fréquent en Terminale STI2D.

• Question 1 : Il s'agit d'une simple vérification de calcul. Avec le modèle \(A = 0{,}084c\), on obtient \(c = \frac{1{,}30}{0{,}084} \approx 15{,}5\) mg/L : le calcul du technicien est exact.
• Question 2 : C'est le cœur de l'exercice. L'absorbance mesurée, \(1{,}30\), dépasse la limite de \(0{,}90\) fixée par le constructeur : elle est hors du domaine de validité de l'étalonnage. Le calcul est juste, mais il repose sur une extrapolation que rien ne justifie, et la conclusion du technicien n'est donc pas recevable.
• Question 3 : Cette question, très pratique, demande une solution concrète. La bonne pratique en laboratoire est de diluer le prélèvement, par exemple au cinquième, pour ramener son absorbance dans le domaine de validité, de refaire la mesure, puis de multiplier la concentration trouvée par le facteur de dilution.
• Question 4 : Bien que la valeur exacte de la concentration ne puisse être déterminée, peut-on affirmer que la norme est dépassée ? Oui : l'absorbance croît avec la concentration, et comme la mesure dépasse \(0{,}90\), la concentration dépasse celle qui correspond à \(A = 0{,}90\), soit \(\frac{0{,}90}{0{,}084} \approx 10{,}7\) mg/L, déjà au-dessus de 5 mg/L. On sait que la norme est dépassée, mais on ignore l'ampleur du dépassement.

Exercice 3 : La dilatation d'un rail de guidage (Python) (6 points)

Ce dernier exercice introduit le principe mathématique qui sous-tend la régression linéaire : la méthode des moindres carrés. On mesure l'allongement y, en millimètres, d'un rail de guidage en aluminium de 2 m pour des températures x allant de 20 °C à 60 °C, et un script Python calcule, pour une droite candidate \(y = ax + b\), la somme des carrés des écarts \(S(a ; b) = \sum (y_i - (ax_i + b))^2\).

• Question 1 : Question de cours sur la méthode des moindres carrés. La variable ecart représente la différence entre l'allongement mesuré \(y_i\) et l'allongement prédit par la droite \(ax_i + b\), c'est-à-dire l'erreur commise par le modèle en ce point. On l'élève au carré pour que les écarts positifs et négatifs ne se compensent pas, et pour pénaliser davantage les gros écarts.
• Question 2 : C'est un calcul manuel pour bien s'approprier la formule. Avec la droite \(y = 0{,}045x - 0{,}9\), les cinq écarts valent \(0\), \(0{,}05\), \(0\), \(0{,}05\) et \(0\), d'où \(S(0{,}045 ; -0{,}9) = 2 \times 0{,}05^2 = 0{,}005\).
• Question 3 : À partir d'un tableau donnant \(S\) pour trois autres droites, il faut identifier la meilleure des quatre. Selon le principe des moindres carrés, c'est celle qui donne la plus petite somme : \(S = 0{,}004\) pour la droite \(y = 0{,}046x - 0{,}92\). Le corrigé souligne un piège instructif : la droite de la question 2 passe exactement par trois points du nuage, et pourtant elle n'est pas la meilleure.
• Question 4 : Cette question porte sur l'algorithmique. Il est demandé d'écrire une fonction Python meilleure(liste) qui, recevant une liste de couples \((a ; b)\), renvoie celui pour lequel \(S\) est minimal. On reconnaît une recherche de minimum, dont la variable doit être initialisée sur le premier élément de la liste.
• Question 5 : Question de réflexion qui évalue la compréhension globale de la méthode. À la calculatrice, la droite des moindres carrés a pour équation \(y = 0{,}045x - 0{,}880\), avec \(S = 0{,}003\), plus petit que pour les quatre droites testées. Le procédé de l'exercice ne trouvait donc que la meilleure droite de la liste proposée, pas la meilleure droite possible. La pente obtenue correspond d'ailleurs au coefficient de dilatation de l'aluminium.

Ce contrôle corrigé pour Terminale STI2D sur les statistiques à deux variables est un excellent entraînement. Il couvre l'ensemble des compétences attendues : du calcul du point moyen à la détermination de la droite de régression linéaire, en passant par l'interprétation et l'utilisation d'un modèle pour résoudre un problème concret, sans oublier son domaine de validité. L'ajout d'une partie sur l'algorithmique avec Python est également très pertinent par rapport aux nouveaux programmes.