1. Résoudre une équation du 1er degré

Introduction

Allez, les amis, nous allons comprendre en 5 minutes tout ce qui concerne les équations du premier degré. Une équation du premier degré est une équation qui a cette forme : \(ax + b = 0\). Pourquoi est-ce important ? Parce que c'est évident que l'équation \(7x + 2 = 0\) est une équation du premier degré, avec \(a\) qui vaut 7 et \(b\) qui vaut 2. C'est aussi une équation du second degré, mais c'est moins évident car il y a des carrés. Pourtant, vous allez voir que c'est quand même une équation du premier degré.

Résolution d'une équation simple

Donc, ce que nous allons faire, c'est commencer par résoudre cette équation simple. Ensuite, nous verrons comment, à partir d'une équation plus compliquée, nous pouvons aller vers une équation plus simple et ensuite la résoudre. Enfin, nous verrons pourquoi il n'est pas nécessaire de paniquer devant un cas complexe. Pour résoudre une équation du premier degré, rien de plus simple. On a deux éléments : un élément qui concerne le \(x\) et un élément sans le \(x\). La première étape est de se débrouiller pour avoir la partie avec le \(x\) qui est toute seule d'un côté. Donc, pour avoir \(7x\) tout seul de son côté, je vais soustraire 2 des deux côtés. Pourquoi est-ce que je fais cela des deux côtés ? Parce qu'en mathématiques, si vous voulez modifier l'équation tout en la laissant équivalente, ce que vous faites à gauche, c'est-à-dire enlever 2, il faut aussi que vous le fassiez à droite. Donc, cela donne \(7x + 2 - 2 = 0 - 2\). Cela fait \(7x = -2\). Maintenant, j'ai la partie avec \(x\) qui est toute seule de son côté. Moi, je veux savoir ce que vaut \(x\). Donc, une fois que vous vous êtes débarrassé de la partie où il n'y avait pas \(x\), il reste de sorte que le coefficient qui est là, posez-vous la question : dans quelle relation est mon coefficient ? C'est quoi ces 7 ? C'est \(7x\). Donc, comment est-ce que je peux me débarrasser de ce 7 ? De la même manière que j'ai viré le \(+2\) en rajoutant \(-2\), je vais virer le \(7x\) en divisant par 7, évidemment des deux côtés. Je me retrouve tout simplement avec \(x = -2 / 7\).

Résolution d'une équation plus complexe

Voyons maintenant un cas légèrement plus compliqué. À la différence du cas précédent, on n'a pas directement \(ax + b = 0\), mais \(7x + 2 = 13x\). Tant que vous n'avez pas mis votre équation sous cette forme égale à zéro, vous n'avez aucune chance d'y arriver. Donc, la première chose que l'on va faire, c'est prendre cette équation et la mettre sous la forme \(ax + b = 0\). Pour cela, on va reprendre ce \(13x\) et le passer de ce côté-là. Donc, pour enlever le \(13x\), je fais \(-13x\), mais attention, je n'ai pas le droit de le faire à gauche si je ne le fais pas à droite. Donc, \(-13x + 7x + 2 = 0\), ce qui donne \(-6x + 2 = 0\). Je suis revenu à une forme \(ax + b = 0\), qui est très facile à résoudre. Comment ? Je vais d'abord m'occuper du \(+2\) pour que \(-6x\) soit tout seul. Donc, je vais faire \(-2\) ici et \(-2\) ici, donc je me retrouve avec \(-2 = -6x\). Ensuite, je vais me débarrasser du \(-6x\) en divisant par \(-6\), ce qui donne \(x = 2 / 6\), qui simplifie à \(x = 1/3\).

Résolution d'une équation complexe

Si je vous présente l'équation \(x(x - 2) + 5 = 2(x - 3)\), vous pouvez la ramener à la forme \(ax + b = 0\). Donc, quelque chose fois \(x\) plus quelque chose égal à zéro. Vous pouvez simplifier cette équation en développant chaque côté, puis en regroupant les termes similaires. Vous obtiendrez alors \(3x = 0\), qui est une équation du premier degré très simple à résoudre : \(x = 0 / 3 = 0\). En résumé, si vous savez résoudre une équation du premier degré, vous êtes surpuissant en mathématiques.