Ce contrôle de mathématiques pour la classe de Terminale STI2D est une excellente ressource pour s'entraîner sur les chapitres des statistiques à deux variables et de la fonction logarithme. D'une durée de 2 heures, ce sujet, avec calculatrice autorisée, est structuré en deux exercices conçus pour évaluer la compréhension des concepts et la capacité à les appliquer dans un contexte concret. Ce document est un support idéal pour la préparation au baccalauréat STI2D.

Exercice 1 : Vrai ou Faux (6 points)

Cet exercice de type Vrai/Faux teste les connaissances théoriques fondamentales sur l'ajustement affine et la régression linéaire. Chaque affirmation requiert une justification précise, s'appuyant sur une propriété du cours, un calcul ou un contre-exemple. Les thèmes abordés sont :

• Question 1 : La propriété du point moyen \(G(\bar{x}, \bar{y})\) qui appartient toujours à la droite d'ajustement par la méthode des moindres carrés.
• Question 2 : La nature même de l'ajustement affine, qui consiste à trouver la meilleure approximation linéaire même lorsque les points du nuage ne sont pas parfaitement alignés.
• Question 3 : L'utilité du changement de variable pour linéariser une relation qui n'est pas affine au départ (par exemple, une relation exponentielle ou puissance). C'est une technique centrale en modélisation.
• Question 4 : Les limites de la modélisation, en particulier le concept d'extrapolation, dont la fiabilité diminue à mesure que l'on s'éloigne de l'intervalle des données mesurées.

Exercice 2 : Le vieillissement d'une LED de signalisation (14 points)

Cet exercice complet est un problème concret mobilisant à la fois les statistiques et l'analyse de la fonction logarithme. Il s'agit de modéliser l'évolution du flux lumineux \(y\) d'une LED en fonction de sa durée de fonctionnement \(t\).

Partie A - Pourquoi l'ajustement affine ne convient pas

Cette partie guide l'élève pour démontrer qu'un modèle affine n'est pas adapté aux données fournies. La démarche consiste à :

1. Calculer les écarts successifs \(\Delta y_i = y_{i+1} - y_i\) pour montrer qu'ils ne sont pas constants, ce qui invalide un modèle arithmétique (linéaire).
2. Calculer les quotients successifs \(q = \frac{y_{i+1}}{y_i}\) pour constater qu'ils sont approximativement constants, suggérant un modèle de type géométrique, c'est-à-dire exponentiel.

Partie B - Le changement de variable

Face à un nuage de points non-linéaire, cette partie met en œuvre la stratégie du changement de variable pour se ramener à un cas linéaire.

• On pose la nouvelle variable \(z = \log(y)\), où \(\log\) est le logarithme décimal. Cette transformation permet de passer d'un modèle exponentiel \(y = k \times a^t\) à un modèle affine \(z = At+B\).
• L'élève doit utiliser sa calculatrice pour effectuer une régression linéaire sur les nouvelles données \((t, z)\) et déterminer l'équation de la droite d'ajustement.
• La question clé est de revenir au modèle initial. En partant de l'équation trouvée, \(z = 2 - 0,0122t\), il faut déduire l'expression de \(y\) en fonction de \(t\). Cela implique de maîtriser la relation réciproque entre le logarithme décimal et la puissance de 10 : \(\log(y) = X \iff y = 10^X\). On aboutit ainsi au modèle \(y = 100 \times 10^{-0,0122t}\).
• Enfin, la qualité du modèle est vérifiée par interpolation.

Partie C - Exploitation

La dernière partie consiste à utiliser le modèle exponentiel établi pour répondre à des questions pratiques :

• Déterminer une durée de vie garantie, ce qui revient à résoudre l'inéquation \(y > 0,70 \times y_{initial}\), soit \(100 \times 10^{-0,0122t} > 70\). La résolution nécessite l'application de la fonction logarithme.
• Calculer la "demi-vie" du flux lumineux, c'est-à-dire le temps au bout duquel le flux est divisé par deux. Il s'agit de résoudre l'équation \(y = 0,5 \times y_{initial}\). Cette question permet également de comprendre une propriété fondamentale de la décroissance exponentielle : la demi-vie est indépendante de la valeur initiale.