Ce document présente un sujet de contrôle de mathématiques de niveau Terminale STI2D, centré sur le chapitre des statistiques à deux variables. Il s'agit d'un sujet complet d'une heure, avec calculatrice autorisée, qui évalue la compréhension des concepts fondamentaux de l'ajustement affine. Ce corrigé détaillé vous permettra de vous préparer efficacement à une évaluation sur ce thème, en passant en revue la création et l'interprétation d'un nuage de points, le calcul du point moyen, et l'utilisation d'une droite de régression pour réaliser des estimations. Ce sujet de maths est un excellent outil pour réviser et maîtriser les compétences clés du programme de Terminale STI2D.

Exercice 1 : QCM (Questions à Choix Multiples)

Ce premier exercice est un QCM de 6 points conçu pour vérifier rapidement les connaissances théoriques essentielles sur les statistiques à deux variables. Chaque question demande une justification, encourageant ainsi une compréhension profonde plutôt qu'une simple supposition.

• Question 1 : Cette question porte sur la définition du point moyen d'un nuage de points. Le nuage est constitué de points de coordonnées \((x_i ; y_i)\). Le point moyen, noté \(G\), est le point central qui résume la position du nuage. Ses coordonnées sont les moyennes arithmétiques des abscisses et des ordonnées. La bonne réponse est donc \(G(\bar{x}; \bar{y})\), où \(\bar{x}\) est la moyenne des \(x_i\) et \(\bar{y}\) est la moyenne des \(y_i\).
• Question 2 : Ici, on s'interroge sur l'utilité principale d'une droite d'ajustement affine. Une telle droite modélise la relation entre les deux variables. Son but n'est pas de relier tous les points (ce qui est souvent impossible) ni de supprimer des points, mais bien de fournir un modèle mathématique pour estimer des valeurs non mesurées. Cela inclut l'interpolation (estimation à l'intérieur de la plage de données) et l'extrapolation (estimation à l'extérieur de la plage de données).
• Question 3 : Cette question est une application directe d'un modèle d'ajustement. On donne l'équation de la droite \(y = 0,02x\) et on demande d'estimer la valeur de \(y\) pour \(x = 350\). Il suffit de remplacer \(x\) par sa valeur dans l'équation : \(y = 0,02 \times 350 = 7\). C'est un calcul d'image simple qui illustre l'utilisation prédictive du modèle.

Exercice 2 : L'allongement d'un ressort

Cet exercice de 8 points est une mise en situation concrète. On étudie la relation entre la masse suspendue à un ressort et son allongement. C'est un cas d'école de l'ajustement linéaire en physique, régi par la loi de Hooke dans certaines limites.

• Question 1 : La première étape consiste à représenter graphiquement les données du tableau pour former un nuage de points. Il faut être attentif à l'échelle demandée : 1 cm pour 50 g en abscisse et 1 cm pour 1 cm en ordonnée. Cette compétence de représentation graphique est fondamentale en analyse de données.
• Question 2 : Il est demandé de calculer les coordonnées du point moyen \(G(\bar{x}; \bar{y})\). Pour cela, on calcule la moyenne des masses (abscisses) et la moyenne des allongements (ordonnées). $$ \bar{x} = \frac{100+200+300+400+500}{5} = 300 \text{ g} $$ $$ \bar{y} = \frac{2,0+4,1+5,9+8,1+9,9}{5} = \frac{30}{5} = 6 \text{ cm} $$ Le point moyen a donc pour coordonnées \(G(300 ; 6)\).
• Question 3 : Cette question aborde l'ajustement affine "au jugé". Après avoir placé le point moyen \(G\) sur le graphique, il faut tracer une droite qui passe par \(G\) et qui semble représenter au mieux la tendance du nuage de points. Une bonne pratique est de s'assurer que la droite passe également près des points extrêmes pour équilibrer la tendance.
• Question 4 : On propose un modèle mathématique précis avec l'équation \(y = 0,02x\). La tâche est de vérifier si le point moyen \(G(300 ; 6)\) appartient à cette droite. On remplace \(x\) par 300 dans l'équation : \(y = 0,02 \times 300 = 6\). Comme on retrouve bien l'ordonnée de \(G\), le point moyen appartient à la droite, ce qui est une propriété requise pour une bonne droite de régression.
• Question 5 : Similaire à la question 3 du QCM, il s'agit d'utiliser le modèle pour une estimation par interpolation. On cherche l'allongement pour une masse de 350 g. Puisque 350 g est dans l'intervalle des mesures [100 g ; 500 g], c'est une interpolation. Le calcul est \(y = 0,02 \times 350 = 7\) cm.

Exercice 3 : La copie d'un élève

Ce dernier exercice de 6 points est un exercice d'analyse critique et de raisonnement. Il vise à évaluer la capacité à comprendre les limites d'un modèle mathématique, un aspect crucial de la démarche scientifique. On analyse la réponse d'un élève qui a utilisé le modèle précédent pour une valeur très éloignée des données initiales.

• Question 1 : L'élève a calculé l'allongement pour 3 kg (soit 3000 g) en utilisant l'équation \(y = 0,02x\). Son calcul \(y = 0,02 \times 3000 = 60\) cm est arithmétiquement correct.
• Question 2 : On demande de situer la valeur de 3000 g par rapport à l'intervalle des mesures, qui est [100 g ; 500 g]. Clairement, 3000 g est très largement en dehors de cet intervalle. Il s'agit donc d'une extrapolation.
• Question 3 : Cette question introduit une contrainte physique : le domaine élastique d'un ressort. Un ressort ne s'allonge pas proportionnellement à la masse indéfiniment. Au-delà d'une certaine masse (la limite d'élasticité), il se déforme de manière permanente ou se rompt. La réponse de l'élève est donc physiquement irréaliste, car le modèle linéaire n'est plus valable pour une masse aussi élevée.
• Question 4 : La dernière question demande de formuler une réponse correcte. Une bonne réponse expliquerait que, bien que le calcul soit juste, l'estimation est peu fiable, voire fausse, car elle constitue une extrapolation très éloignée du domaine de validité du modèle. Le modèle linéaire n'est probablement plus applicable pour une masse de 3 kg.

En conclusion, ce contrôle corrigé sur les statistiques à deux variables pour la Terminale STI2D couvre l'ensemble des compétences attendues : représenter un nuage de points, calculer et interpréter le point moyen, utiliser une droite d'ajustement pour prédire des valeurs, et surtout, porter un regard critique sur la validité d'un modèle en dehors de son domaine d'étude.