Introduction
Allez les amis, on est parti pour la dernière vidéo de ce chapitre sur les inéquations. On va voir comment on peut transformer un problème en une équation pour pouvoir la résoudre. Pour illustrer ce problème, j'ai choisi le cas du problème du kebab et de la carte de réduction qu'on affronte tous les midis quand on mange dehors.
Le problème du kebab
Une équation, c'est bien, mais à quoi ça sert finalement ? C'est ça la vraie question. Pourquoi est-ce qu'on s'embête à apprendre à résoudre cinq types d'une équation différente si on ne s'en sert pas dans la vie de tous les jours ? Moi, je propose un problème : on a un kebabiste qui vend ses kebabs cinq euros. Il propose une carte de fidélité qui vous permet d'avoir 5 % de réduction sur le prix de votre kebab. Vous vous dites que ça a l'air intéressant, mais si je prends qu'un seul kebab, la carte elle m'aura coûté dix euros plus le kebab à cinq euros, ce qui m'aura coûté vingt-cinq euros. Avec les 5% de réduction, le kebab m'aura coûté 14 euros 90. Par contre, si je prends 5000 kebabs dans l'année avec 5 % de réduction, ce que je vais économiser peut être rentabilisé le prix de la carte. L'objet de ce problème, c'est de savoir à partir de combien de kebabs est-ce que c'est intéressant de prendre cette bonne vieille carte de réduction.
Traduction du problème en équation
Donc, traduisons déjà cette phrase : "Au bout de combien de temps la carte est rentable ?". Bon, moi j'aimerais qu'on considère le prix normal et le prix avec la carte. Si la carte est rentable, ça veut dire que le prix que vous avez payé avec la carte est comment par rapport au prix normal ? Si vous avez gagné, c'est que vous avez payé plus ou moins cher ? Moins cher évidemment. Donc on veut que le prix avec la carte soit inférieur au prix normal. Très bien, ça c'est une bonne première étape. On écrit ça, mais d'ailleurs on n'est pas là pour faire des films, on est là pour faire des maths. Donc, va falloir transformer ces mots en équation.
Moi, ce que je vous propose, c'est qu'on fasse apparaître le \(x\). Parce que vous savez que quand vous avez une équation à résoudre, vous avez une inconnue, il faut faire apparaître \(x\). On va dire que \(x\) c'est le nombre de kebabs qu'on achète. Si vous avez acheté \(x\) kebabs et que chaque kebab coûte cinq euros, combien ça vous a coûté ? \(x\) kebabs coûtent \(5x\) euros. Il nous a coûté 5 euros multiplié par le nombre de kebabs. Donc, je veux que \(5x\) soit plus grand que le prix de la carte. Le prix de la carte, c'est quoi ? C'est 10 euros plus le nombre de kebabs que vous avez acheté multiplié par le prix du kebab avec la carte de réduction. On a 5% de réduction, 5% de 5 euros, ça fait \(5 \times 0.95\).
On va vous faire une vidéo sur les pourcentages pour apprendre à gérer ces pourcentages. Pourquoi je multiplie pour avoir 5 % ? Quand je leur demande 5%, il me reste 95%. Une petite vidéo spéciale avec donc la voilà dans l'équation. Quand est-ce que \(5x\) est plus grand que \(10 + 0.95x\) ? Donc on va l'arranger un peu. \(5x\) c'est plus grand que \(10 + 0.95x\). \(5x - 0.95x > 10\). \(5x - 0.95x\) c'est \(4.05x\). Donc, \(4.05x > 10\).
Résolution de l'équation
Maintenant, on a plus qu'à résoudre cette équation. On a vu que quand on avait une équation avec \(ax + b\) d'un côté et \(cx + d\) de l'autre, on passait tout du même côté. Donc, je vais tout passer d'un côté. \(5x - 4.05x > 10\). Vu que je passe tout du même côté, les signes changent. Donc, \(5x - 4.05x\) devient \(0.95x\), et \(10\) devient \(-10\). Donc, \(0.95x - 10 > 0\). Je me débarrasse du \(-10\) en le passant de l'autre côté, donc il devient \(+10\). Donc, \(0.95x > 10\). Ensuite, j'enlève le \(0.95\) en divisant tout par \(0.95\). Donc, \(x > \frac{10}{0.95}\). Et \(\frac{10}{0.95}\) c'est environ \(10.53\).
Autrement dit, si je consomme dans l'année plus que 10.53 kebabs, en gros, un kebab et demi par semaine, si vous mangez une ou deux fois par semaine, ça devient intéressant pour la carte de réduction. J'aurais intérêt à prendre cette carte de réduction.
La difficulté dans ces problèmes, en vrai, c'est d'arriver à écrire ce truc là. Le résoudre, vous savez faire. On vous a fait suffisamment d'équations. Le truc, c'est de regarder un énoncé, se dire "je pars d'une phrase", ensuite dans cette phrase, "j'intègre du \(x\)", et il faut que vous arriviez à faire pareil. Votre problème, il est réglé, parce qu'en fait les inéquations, vous savez les faire. On vous a mis en dessous des exercices avec du blabla comme ça et des exercices avec des représentations géométriques aussi qui ne sont pas évidents. Faites-les, ça fait du bien, vous allez devenir bon. À vous de jouer maintenant.