Introduction
Allez les amis, on est parti pour vérifier si un point appartient à une droite. On s'y met tout de suite. Pour vérifier qu'un point appartient à une droite, il n'y a rien de plus simple.
Explication de la méthode
Si j'ai une droite, par exemple la droite \(D\), et je sais que le paramètre \(t\) est donné dans l'équation paramétrique de la droite, il représente le temps. C'est à dire que cette droite, c'est une trajectoire. Quand \(t\) varie, je vais me retrouver à différents endroits. Par exemple, quand \(t = 5\), \(x\) vaudra \(2 \times 5 + 1\), donc 11. \(y\) vaudra \(2 \times 5 - 9\), et \(z = 5 + 1 = 6\). Donc je sais que je serai au point (11, -9, 6).
La question que je me pose, c'est : est-ce qu'à un moment ma droite va passer par ce point là ? Donc est-ce qu'à un moment mon \(x\) va valoir 2, mon \(y\) va valoir 0 et mon \(z\) va valoir 1 ? Je peux répondre à cette question assez facilement. Est-ce qu'il y a un moment où mon \(x\) peut valoir 2 ? Oui, quand \(2t = 2 - 1\), donc \(t = 1\). Donc quand \(t = 1\), j'ai bien \(x = 2t + 1\), donc la première coordonnée de la droite sera égale à 2.
Application de la méthode
Sauf que, est-ce qu'au même moment la deuxième coordonnée \(y\) sera égale à zéro et la troisième coordonnée \(z\) sera égale à 1 ? Parce que c'est ça qui nous intéresse. Ce n'est pas de savoir si à trois moments différents je peux avoir ces trois égalités qui sont vraies, c'est de savoir si je peux avoir ces trois égalités qui sont vraies au même moment, donc pour la même valeur de \(t\).
Donc si je remplace \(t = 1\) dans cette équation, je devrai trouver 0, 0, 1. Le point \(M\) est sur la droite si \(2 \times 1 - 1 = 0\). Donc oui, au même moment à \(t = 1\), non seulement la première coordonnée vaut 2 mais la deuxième vaut zéro. Est-ce que la troisième vaut bien 1 quand je remplace \(t\) par 1 ? \(1 + 1 = 2\), donc non.
Donc malheureusement, j'aurais bien aimé pour \(t = 1\), c'est-à-dire au bout d'une seconde, avoir la première coordonnée qui serait 2, la deuxième coordonnée qui serait 0, mais la troisième ne serait pas 1. Donc mon point n'est pas sur la courbe. Le point \(A\) n'appartient pas à la courbe.
Conclusion
Je peux conclure donc en pratique, quand vous voulez vérifier si un point appartient à une droite, vous prenez l'équation de votre droite, vous remplacez \(x\), \(y\), \(z\) par les coordonnées du point et vous regardez si les trois équations que vous obtenez ont la même solution. Si elles ont la même solution, qui sera donc l'instant où votre droite passe par le point en question. À vous de jouer, on vous a mis des exercices juste en dessous, vous pouvez les faire, c'est très simple, vous êtes des champions.