Analyse du sujet de contrôle sur les équations différentielles (Niveau Terminale STI2D)

Ce document est un sujet de contrôle de mathématiques destiné aux élèves de Terminale STI2D. D'une durée d'une heure, il évalue de manière complète les compétences acquises sur le chapitre des équations différentielles. La calculatrice est autorisée. Le sujet est structuré en trois exercices distincts : un QCM pour tester les notations et les réflexes fondamentaux, une série de questions indépendantes pour reconnaître et résoudre les équations du cours, et un problème guidé en contexte pour appliquer les méthodes à une situation concrète.

Ce type de sujet est un excellent outil de préparation au Baccalauréat STI2D, car il balaye les différents types d'équations différentielles au programme : \( y' = ay \) et \( y' = ay + b \), y compris sous la notation \( \frac{dy}{dx} \).

Exercice 1 : Notations, constantes et conditions initiales (QCM) (6 points)

Cet exercice est un Questionnaire à Choix Multiples qui vise à vérifier la maîtrise des définitions et des formules de base du cours. Une justification est demandée pour chaque réponse, ce qui pousse à une réelle compréhension plutôt qu'à une devinette.

• Question 1 : Il s'agit de vérifier qu'une fonction est solution d'une équation différentielle. Pour \( f(x) = 5e^{-x} \), on calcule \( f'(x) = -5e^{-x} = -f(x) \) : \( f \) est solution de \( y' = -y \). Le piège : c'est l'exposant qui fixe l'équation, pas le coefficient 5 placé devant.
• Question 2 : Cette question aborde les équations de la forme \( y' = ay + b \). Pour \( g(t) = 3 - 2e^{-4t} \), on calcule \( g'(t) = 8e^{-4t} \) et l'on constate que \( -4g(t) + 12 = 8e^{-4t} \) : \( g \) est solution de \( y' = -4y + 12 \). Un contrôle rapide confirme le choix : la solution constante de cette équation vaut 3, la constante qui accompagne l'exponentielle dans \( g \).
• Question 3 : On demande la solution constante de l'équation \( \frac{d\theta}{dt} = -0{,}2\theta + 4 \), écrite avec la notation différentielle. Une constante \( c \) a une dérivée nulle, d'où \( 0 = -0{,}2c + 4 \), ce qui donne \( c = 20 \).
• Question 4 : Elle porte sur une condition initiale donnée en \( x = 1 \) et non en 0. Les solutions de \( y' = 3y \) sont les fonctions \( x \mapsto ke^{3x} \) ; la condition \( y(1) = 2 \) donne \( k = 2e^{-3} \), d'où la solution \( x \mapsto 2e^{3x-3} \). Le piège classique consiste à choisir \( 2e^{3x} \), qui vérifie \( y(0) = 2 \).

Exercice 2 : Reconnaître et résoudre (7 points)

Cet exercice regroupe plusieurs questions indépendantes pour évaluer différentes facettes de la maîtrise du chapitre.

• Question 1 : Une vérification de solution. On doit montrer que \( f(x) = 4e^{5x} \) est solution de \( y' = 5y \). On dérive \( f \) pour obtenir \( f'(x) = 4 \times 5e^{5x} = 20e^{5x} \), et on compare avec \( 5f(x) = 5 \times 4e^{5x} = 20e^{5x} \). L'égalité est vérifiée.
• Question 2 : Résolution directe de \( \frac{dy}{dx} = -0{,}5y \). La notation désigne la dérivée \( y' \) : on reconnaît la forme \( y' = ay \), et les solutions sont les fonctions \( y(x) = ke^{-0{,}5x} \), où \( k \) est un réel.
• Question 3 : Un problème complet : résoudre \( y' = 4y - 8 \) avec la condition initiale \( y(0) = 3 \). On cherche d'abord la solution constante, égale à 2, d'où la solution générale \( y(x) = ke^{4x} + 2 \) ; la condition initiale donne \( k = 1 \), et la solution est \( y(x) = e^{4x} + 2 \).
• Question 4 : Cette question sort du cadre strict des équations étudiées en classe pour tester la compréhension profonde de la notion de solution.
  • a. Pour l'équation \( 2y - xy' = 0 \) et la fonction \( g(x) = 3x^2 \), on calcule \( g'(x) = 6x \). On substitue dans l'équation : \( 2g(x) - xg'(x) = 6x^2 - 6x^2 = 0 \). Donc \( g \) est bien solution.
  • b. Pour l'équation \( y' + y^2 = 0 \) et la fonction \( h(x) = \frac{1}{x} \), on calcule \( h'(x) = -\frac{1}{x^2} \). On substitue : \( h'(x) + [h(x)]^2 = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^2} = 0 \). Donc \( h \) est bien solution sur \( ]0 ; +\infty[ \). Aucune méthode du chapitre ne permettrait de résoudre cette équation, mais vérifier une solution ne demande qu'une dérivée et une substitution.

Exercice 3 : Le freinage magnétique d'un wagonnet (7 points)

Ce problème guidé applique le cours à une situation concrète. En fin de parcours, le wagonnet d'une attraction foraine est freiné par des aimants, avec une force proportionnelle à sa vitesse. Sa vitesse \( v(t) \), en m/s, est solution de l'équation \( \frac{dv}{dt} = -0{,}5v \) avec \( v(0) = 20 \).

• Question 1 : On donne l'ensemble des solutions, les fonctions \( t \mapsto ke^{-0{,}5t} \), puis la condition initiale donne \( k = 20 \) : \( v(t) = 20e^{-0{,}5t} \).
• Question 2 : La vitesse au bout de 2 secondes vaut \( v(2) = 20e^{-1} \approx 7{,}36 \) m/s.
• Question 3 : On calcule \( v'(t) = -10e^{-0{,}5t} \), strictement négative : la vitesse est strictement décroissante, le wagonnet ne fait que ralentir. À l'entrée de la zone, la décélération vaut 10 m/s², de l'ordre de l'accélération de la pesanteur.
• Question 4 : Le wagonnet peut quitter la zone dès que sa vitesse est inférieure à 2 m/s. On résout l'inéquation \( 20e^{-0{,}5t} < 2 \) à l'aide du logarithme népérien, en prenant garde au changement de sens lors de la division par un nombre négatif : on obtient \( t > 2\ln(10) \approx 4{,}61 \) s.