Contrôle Corrigé sur les Équations Différentielles - Terminale STI2D

Ce sujet de contrôle pour la classe de Terminale STI2D est centré sur le chapitre des équations différentielles. D'une durée d'1h30, il évalue la capacité des élèves à modéliser des situations physiques, à analyser mathématiquement les solutions et à comprendre des méthodes d'approximation numérique. Ce document est une ressource idéale pour s'entraîner, avec des exercices concrets et progressifs. Mots-clés : Contrôle corrigé, Sujet de maths, Terminale STI2D, équations différentielles, charge d'un condensateur, méthode d'Euler, exponentielle, limites.

Exercice 1 : Deux fiches de montage (6 points)

Cet exercice plonge l'élève dans un contexte concret d'électronique : la charge d'un condensateur à travers une résistance (circuit RC). Le problème est posé à travers deux documents techniques dont la cohérence doit être vérifiée.

• La première question demande de traduire les données physiques (R, C, E) en une équation différentielle de la forme \(u' = au + b\). L'équation de base est \(u' = -\frac{1}{RC} u + \frac{E}{RC}\), et il faut la particulariser avec les valeurs numériques fournies.
• La solution de l'équation, \(u(t) = 12(1 - e^{-t})\), est donnée. Il est demandé de vérifier qu'elle respecte bien la condition initiale du problème, à savoir \(u(0) = 0\).
• L'élève doit ensuite utiliser cette solution pour effectuer un calcul numérique : la valeur de la tension \(u\) au bout d'une seconde. Le résultat permet de juger de la validité de l'affirmation d'un monteur, mobilisant ainsi l'esprit critique.
• Une question d'interprétation physique est posée sur la signification de la constante de temps \(RC\). Il s'agit de montrer par le calcul que pour \(t=RC\), le condensateur est chargé à environ 63% de sa tension maximale.
• Enfin, l'exercice se conclut par une tâche de rédaction, demandant de corriger la note technique initiale du monteur à la lumière des résultats obtenus.

Exercice 2 : La charge du condensateur (8 points)

Cet exercice approfondit l'étude mathématique de la solution \(u(t) = 12(1 - e^{-t})\) introduite dans la première partie. Il s'agit d'une analyse de fonction complète, appliquée au modèle physique.

• La première étape consiste à vérifier que la fonction \(u(t)\) est bien une solution de l'équation différentielle \(u' = -u + 12\). Cela nécessite de calculer la dérivée \(u'(t)\) et de la substituer, avec \(u(t)\), dans l'équation pour vérifier l'égalité.
• L'étude des variations de la fonction \(u\) est demandée. Il faut calculer la dérivée \(u'(t)\), étudier son signe sur l'intervalle de temps considéré, et en déduire le sens de variation de la tension. L'interprétation physique de cette croissance est attendue.
• La notion de limite est abordée en demandant de déterminer le comportement de la tension \(u(t)\) lorsque le temps \(t\) tend vers l'infini. Cela correspond physiquement à l'état de charge final du condensateur.
• Une question de résolution d'équation est posée : déterminer l'instant exact où la tension atteint 11 volts. Cela revient à résoudre l'équation \(12(1 - e^{-t}) = 11\), ce qui fait intervenir la fonction logarithme népérien.
• L'exercice se termine par une question conceptuelle sur le modèle : la tension de 12 volts, qui est la limite, peut-elle être atteinte en un temps fini ? Cela amène à réfléchir sur la nature asymptotique du modèle exponentiel.

Exercice 3 : La méthode d'Euler (6 points)

Ce dernier exercice introduit une approche numérique pour approximer la solution d'une équation différentielle : la méthode d'Euler. Il s'agit d'approcher la fonction exponentielle, solution de \(y' = y\) avec \(y(0)=1\), sans utiliser sa formule explicite.

• La formule d'itération d'Euler, \(y(t+h) \approx y(t)(1+h)\), et un script Python sont fournis. La première question demande de dérouler l'algorithme à la main pour un pas \(h=0,5\) afin de bien comprendre son fonctionnement.
• Un tableau de résultats pour différentes valeurs de \(h\) est présenté. L'élève doit comparer ces approximations à la valeur exacte de \(y(1) = e\) et analyser la convergence : l'approximation s'améliore-t-elle lorsque le pas \(h\) diminue ?
• Une question plus théorique demande d'expliquer pourquoi la méthode sous-estime la valeur réelle. Cela fait appel à la notion de convexité de la fonction exponentielle (sa pente est croissante), que la méthode d'Euler, en utilisant la pente au début de chaque intervalle, ne parvient pas à suivre.
• Pour conclure, une question ouverte est posée sur les inconvénients d'un pas \(h\) trop petit, introduisant les notions de coût de calcul et de précision numérique.