Introduction
Allez les amis, on est parti pour voir un exercice typique des contrôles sur les équations différentielles. Résoudre une équation différentielle où vous avez une fonction à la place du \(B\) et où on vous demande de trouver la fonction affine qui est solution particulière. Vous allez voir, c'est très simple. On se fait ça tout de suite.
Trouver une solution affine particulière
Pour trouver une solution affine particulière, il faut deux choses. Premièrement, savoir à quoi ça ressemble une fonction affine. Donc, je dis une fonction affine depuis la seconde, je sais que ça s'écrit \(g(x) = Ax + B\). Deuxièmement, si \(g(x)\) est solution de \(E\), parce que c'est ça que je cherche, je veux qu'il soit une fonction affine qui soit solution, ça veut dire que j'ai le droit de prendre \(g(x)\) et de le mettre à la place du \(y\) ici. Donc ça veut dire que \(2\) multiplié par la dérivée de \(Ax + B + 3x + B\) est égal à \(6x + 1\).
Maintenant, je vais trier ce côté là pour qu'il s'écrive quelque chose fois \(x\) + une constante et je dirais que ce qu'il y a devant ici c'est égal à ce qu'il y a devant cela et la constante ici elle est égale à la constante là. La dérivée de \(Ax + B\) c'est tout simplement \(A\). Donc je me retrouve avec \(2A + 3x + 3B = 6x + 1\).
Maintenant, je trie, je mets les \(x\) ensemble, j'en ai un là et c'est tout. Donc j'ai \(3Ax + 3B + 2A = 6x + 1\). Et maintenant, je me dis si ça c'est égal à ça, ça veut dire que ce qui est devant le \(x\) ici c'est égal à ce qui est devant le \(x\) là et que ce qui est en constante là, c'est à dire \(1\), c'est ce que j'ai en constante là. Donc je me retrouve avec un système qui est premièrement \(3A = 6\) et deuxièmement \(3B + 2A = 1\).
La première, je la résous tout de suite, si \(3A = 6\), \(A = 6 / 3\), donc \(A = 2\). Et deuxièmement, \(3B + 2A = 1\), donc \(3B + 4 = 1\), donc ça veut dire que \(3B = -3\), donc \(B = -1\). Donc je sais finalement que ma fonction \(g(x)\) qui est solution, elle s'écrit \(2x - 1\).
Conclusion
Donc, vous voyez, je n'ai rien fait d'autre que de dire si j'ai une solution, je la remplace dans mon équation, je trie les \(x\) ensemble, ceux qui ne sont pas les \(x\) ensemble, j'identifie, ça me fait un petit système et je le résous.
Très bien, qu'est-ce qu'on veut en déduire ? Les solutions de \(E\). Donc là, vous venez de trouver une solution particulière de \(E\). Donc on va résoudre le système \(E\) légèrement modifié en enlevant ce qui nous embêtait, c'est-à-dire le \(6x + 1\). Donc on va juste résoudre \(2y' + 3y = 0\). Autrement dit, je passe mon \(3y\) de l'autre côté et je divise par deux, \(y' = -3/2y\).
Ça va me donner des solutions que je vais appeler \(f(x) = k \exp(-3/2x)\), d'après la formule qui s'affiche là haut, \(y' = y\), ça veut dire que \(f(x) = k \exp(Ax)\) avec \(k\) qui est un nombre réel.
Et je vais conclure en disant que les solutions \(s(x)\), toutes les solutions, s'écrivent \(g(x) + f(x)\), donc \(k \exp(-3/2x) + 2x - 1\), et j'oublie pas de dire que mon \(k\) c'est un nombre réel. Et bingo, c'est terminé, aussi simple que ça.
La partie compliquée, c'est trouver la fonction \(f(x)\), mais vous savez comment le faire. Ça tombe bien, on vous a mis des petits exercices en dessous, faites-les pour vérifier que c'est bien rentré dans votre tête. À vous de jouer, vous êtes des champions.