Analyse du sujet de mathématiques - Terminale STI2D

Ce contrôle de mathématiques pour les élèves de Terminale STI2D est centré sur deux chapitres fondamentaux du programme : les équations différentielles et la fonction exponentielle. Il se compose de deux exercices principaux : un exercice de type "Vrai ou Faux" pour évaluer la compréhension théorique, et un problème complet modélisant une situation concrète pour tester les capacités d'application et de raisonnement.

Exercice 1 : Vrai ou Faux sur les Équations Différentielles

Cet exercice vise à vérifier la maîtrise des propriétés fondamentales des équations différentielles linéaires du premier ordre. Chaque affirmation doit être rigoureusement justifiée.

• Affirmation 1 : L'équation différentielle \(y' = ay\) admet une infinité de solutions. Il s'agit de reconnaître la forme de la solution générale \(y(x) = Ce^{ax}\), où \(C\) peut prendre n'importe quelle valeur réelle, ce qui confirme l'infinité de solutions.
• Affirmation 2 : Si \(f\) et \(g\) sont solutions de \(y' = 3y\), alors \(f + g\) l'est aussi. Cette question teste la propriété de linéarité. En calculant la dérivée de la somme, \((f+g)' = f' + g' = 3f + 3g = 3(f+g)\), on démontre que l'affirmation est vraie.
• Affirmation 3 : Une équation différentielle \(y' = ay + b\) admet au plus une solution vérifiant une condition initiale donnée. Cela fait appel au théorème de Cauchy-Lipschitz (vu implicitement) qui garantit l'existence et l'unicité d'une solution pour un problème de Cauchy.
• Affirmation 4 : La fonction nulle est solution de \(y' = 2y + 5\). Il faut ici substituer la fonction \(y(x)=0\) dans l'équation. On obtient \(0 = 2 \times 0 + 5\), soit \(0=5\), ce qui est faux. Cela teste la capacité à vérifier si une fonction est solution.

Exercice 2 : La Température d'une Serre (Problème Concret)

Ce problème complet est un excellent exemple d'application des équations différentielles et de la fonction exponentielle à une situation physique : la loi de refroidissement de Newton. On modélise l'évolution de la température \(T(t)\) d'une serre après la coupure du chauffage.

Partie A : Résolution de l'équation

L'étude part de l'équation \(T' = -0,4 (T – 5)\) avec la condition initiale \(T(0) = 20\).

1. Il est d'abord demandé de transformer l'équation sous la forme plus classique \(T' = -0,4T + 2\).
2. La recherche de la solution constante (où \(T'=0\)) mène à \(T=5\), qui représente la température d'équilibre, c'est-à-dire la température extérieure.
3. La résolution complète consiste à trouver la forme générale des solutions \(T(t) = Ce^{-0,4t} + 5\), puis à utiliser la condition initiale \(T(0) = 20\) pour déterminer la constante \(C=15\). La solution unique est donc \(T(t) = 5 + 15e^{-0,4t}\).

Partie B : Exploitation de la solution

Avec la solution explicite, cette partie se concentre sur son utilisation pour répondre à des questions pratiques.

• Calcul de températures : Il faut calculer \(T(2)\) et \(T(3)\) pour connaître la température à 22h et 23h.
• Étude des variations : Le calcul de la dérivée \(T'(t) = -6e^{-0,4t}\) et l'étude de son signe (toujours négatif) permettent de conclure que la température diminue constamment, ce qui est cohérent avec un phénomène de refroidissement.
• Résolution de problème : La question cruciale est de déterminer à quel instant la température atteint le seuil critique de 8°C. Cela nécessite de résoudre l'équation \(5 + 15e^{-0,4t} = 8\), une équation avec exponentielle dont la solution passe par l'utilisation du logarithme népérien.

Partie C : Analyse du modèle

Cette dernière partie pousse la réflexion plus loin.

• Comportement à long terme : On demande de calculer la limite de \(T(t)\) lorsque \(t \to +\infty\). La limite est 5, ce qui signifie qu'à long terme, la température de la serre tend à s'équilibrer avec la température extérieure.
• Question ouverte : Le maraîcher améliore l'isolation, ce qui change le coefficient de \(-0,4\) à un coefficient \(-k\) (avec \(k < 0,4\)). Il faut analyser l'impact de ce changement sur le temps nécessaire pour atteindre 8°C. Le calcul montre que le temps \(t = \frac{\ln(5)}{k}\) augmente lorsque \(k\) diminue, ce qui signifie que le maraîcher gagne du temps avant de devoir relancer le chauffage. Cette question valorise la prise d'initiative et la capacité à interpréter l'influence d'un paramètre.