Contrôle Corrigé de Maths sur la Composition de Fonctions - Terminale STI2D

Ce sujet de contrôle pour les élèves de Terminale STI2D est entièrement dédié au chapitre sur la composition de fonctions. Il s'agit d'une évaluation complète d'une heure qui balaye les compétences essentielles : reconnaître une fonction composée, la dériver, et appliquer ces notions dans le cadre de la résolution de problèmes concrets. Ce corrigé détaillé vous permettra de vous préparer efficacement, de comprendre vos erreurs et de maîtriser les techniques de dérivation et d'étude de fonctions.

Mots-clés : Contrôle corrigé, Sujet de maths, Terminale STI2D, composition de fonctions, dérivée d'une fonction composée, étude de variation, résolution d'équation, algorithme Python.

Exercice 1 : Reconnaître et dériver une composée (8 points)

Cet exercice a pour but de vérifier la compréhension fondamentale de la notion de composition et la maîtrise des formules de dérivation associées. Il est divisé en deux parties : un Vrai ou Faux pour tester la conceptualisation et une partie calculatoire pour la mise en pratique.

• Partie A (Vrai ou Faux) :
  • Question 1 & 2 : Il s'agit de calculer l'expression de (v o u)(x) pour des fonctions simples (u(x)=x+3, v(x)=x² puis u(x)=3x, v(x)=sin(x)). L'objectif est de vérifier la bonne application de la définition (v o u)(x) = v(u(x)) et de ne pas confondre avec d'autres opérations.
  • Question 3 : La dérivation de (5x-2)³ est demandée. C'est une application directe de la formule de dérivation d'une puissance d'une fonction, (u^n)' = n * u' * u^(n-1), où l'oubli du terme u' est une erreur classique.
  • Question 4 : Cette question purement théorique demande d'identifier la fonction x -> cos(4x) comme la composée de deux fonctions plus simples, ici x -> 4x et x -> cos(x).
• Partie B (Calculs de dérivées) :
  • Question 5 & 6 : Calcul des dérivées de f(x) = (3x+1)^5 et g(x) = (x²+1)³. Ces questions renforcent la compétence de dérivation des fonctions de la forme u^n.
  • Question 7 : Calcul de la dérivée de h(x) = 1/(2x-3). Cela fait appel à la formule de la dérivée de l'inverse d'une fonction, (1/u)' = -u'/u², ou à celle de u^n avec n=-1.
  • Question 8 : Calcul des dérivées de fonctions trigonométriques composées, k(x) = sin(2x) et l(x) = cos(3x + pi/4). Les formules (sin(u))' = u' * cos(u) et (cos(u))' = -u' * sin(u) sont ici indispensables.

Exercice 2 : L'éclairage d'un poste de travail (6 points)

Ce deuxième exercice est un problème d'application concret qui modélise l'éclairement d'un projecteur. La fonction étudiée est I(d) = 900 / (d+1)², où d représente la distance. Cet exercice permet de mobiliser les compétences de dérivation dans un contexte réaliste, incluant l'étude des variations et la résolution d'une inéquation.

• Question 1 & 2 : Après un simple calcul d'images, il est demandé de réécrire la fonction sous la forme I(d) = 900 * (d+1)^(-2) afin de bien identifier la structure de fonction composée, ce qui prépare le calcul de la dérivée.
• Question 3 : Le calcul de la dérivée I'(d) est l'étape centrale, en utilisant la formule de dérivation d'une fonction de la forme k * u^n. Le résultat attendu est I'(d) = -1800 / (d+1)³.
• Question 4 : Il faut ensuite étudier le signe de cette dérivée pour d >= 0. Comme (d+1)³ est toujours positif sur cet intervalle, le signe de I'(d) est négatif. On en déduit que la fonction I est strictement décroissante. L'interprétation physique est simple : plus on éloigne le projecteur, plus l'éclairement diminue.
• Question 5 : La dernière question consiste à résoudre l'inéquation I(d) >= 100, soit 900 / (d+1)² >= 100. Cette inéquation quotient se ramène à la résolution de (d+1)² <= 9, qui permet de trouver la distance maximale d'installation du projecteur.

Exercice 3 : L'ordre compte (6 points)

Cet exercice explore la non-commutativité de la composition de fonctions à travers un exemple, u(x) = 2x-1 et v(x) = x², et introduit une approche algorithmique avec un script Python. Il s'agit de lier le calcul algébrique à l'informatique.

• Question 1 & 2 : Le calcul de (v o u)(3) et (u o v)(3) puis des expressions générales de (v o u)(x) et (u o v)(x) met en évidence que, en général, v o u est différent de u o v.
• Question 3 : La recherche des cas d'égalité mène à la résolution de l'équation (v o u)(x) = (u o v)(x), qui s'écrit 4x² - 4x + 1 = 2x² - 1. C'est une équation du second degré qui, une fois simplifiée en 2x² - 4x + 2 = 0, admet une unique solution x=1.
• Question 4 & 5 : L'analyse du script Python `comparer` montre comment un programme peut chercher des solutions à une équation. L'appel `comparer(-3, 3)` renverra la liste [1], la seule solution entière dans l'intervalle. La dernière question ouvre une discussion sur les limites de cette approche : l'algorithme ne teste que des valeurs entières et pourrait donc manquer des solutions non entières, renvoyant une liste vide même si des solutions existent.