Ce sujet de contrôle de mathématiques pour la classe de Terminale STI2D est entièrement consacré au chapitre des suites arithmétiques et géométriques. D'une durée d'1h30, il est composé de trois exercices progressifs qui évaluent la maîtrise des formules, la capacité à modéliser des situations concrètes et l'esprit critique. C'est un excellent support pour s'entraîner et réviser avant une évaluation.

Exercice 1 : Maîtrise des formules de base

Cet exercice de 8 points est une série de questions indépendantes conçues pour vérifier la connaissance directe des définitions et formules des suites arithmétiques et géométriques.

• Question 1 : On part d'une suite arithmétique \\( (u_n) \\) définie par ses termes \\( u(0) = 2 \\) et \\( u(12) = 38 \\). L'objectif est de retrouver sa raison \\( r \\) en utilisant la formule \\( u_n = u_p + (n-p)r \\), puis de donner son expression explicite sous la forme \\( u_n = u_0 + nr \\).
• Question 2 : Il s'agit de calculer la somme des 50 premiers entiers : \\( S = \\sum_{k=1}^{50} k = 1 + 2 + \\dots + 50 \\). Cet exercice applique directement la formule de la somme des termes d'une suite arithmétique : \\( S = \\frac{\\text{nombre de termes} \\times (\\text{premier terme} + \\text{dernier terme})}{2} \\).
• Question 3 : Sous forme de QCM, cette question porte sur une suite géométrique \\( (w_n) \\) dont on connaît \\( w(0) = 5 \\) et \\( w(4) = 405 \\). Il faut déterminer la raison \\( q \\) de la suite en résolvant l'équation \\( w(4) = w(0) \\times q^4 \\).
• Question 4 : Cette question est un problème de modélisation. Une population de 15 000 habitants subit une diminution annuelle de 2%. Il faut reconnaître ici une suite géométrique de raison \\( q = 1 - \\frac{2}{100} = 0.98 \\), exprimer le nombre d'habitants \\( u_n \\) après \\( n \\) années, et calculer cette valeur pour \\( n=10 \\).

Exercice 2 : Application à un plan d'épargne

Ce second exercice de 8 points est un problème concret de finance, un cas d'école pour l'application des suites géométriques et de leurs sommes. Un technicien verse 1500 € par an sur un plan rémunéré à 2,5%.

• Questions 1 et 2 : L'analyse commence par la compréhension du mécanisme de capitalisation. Chaque versement annuel génère des intérêts pendant les années restantes jusqu'au terme du plan. On établit l'expression de la valeur acquise \\( c_k \\) du k-ième versement, qui suit un modèle de capitalisation à intérêts composés : \\( c_k = 1500 \\times (1.025)^{10-k} \\).
• Questions 3 et 4 : Le capital total \\( C \\) à la fin des 10 ans est la somme de toutes les valeurs acquises : \\( C = c_1 + c_2 + \\dots + c_{10} \\). On doit reconnaître que la somme \\( c_{10} + c_9 + \\dots + c_1 \\) est la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique. Il faut alors identifier le premier terme, la raison \\( q=1.025 \\) et le nombre de termes pour appliquer la formule de la somme et calculer \\( C \\).
• Question 5 : Cette question porte sur l'interprétation des résultats. On compare le capital final obtenu avec le montant total réellement versé par le technicien (10 × 1500 €) pour en déduire le montant des intérêts générés et leur part en pourcentage.
• Question 6 : Une question de comparaison est posée pour évaluer l'efficacité du plan. On calcule ce qu'aurait rapporté un versement unique de 15 000 € placé au même taux pendant 10 ans, et on commente l'écart avec le résultat du plan d'épargne.

Exercice 3 : Où est l'erreur ?

Ce dernier exercice de 4 points est un exercice d'analyse et de raisonnement. Il ne s'agit pas seulement de calculer, mais d'analyser une copie d'élève pour y déceler une erreur de logique.

• Contexte : Un élève calcule la somme des termes d'une suite arithmétique \\( S = \\sum_{n=3}^{20} u(n) \\). La suite est définie par \\( u_n = 4 + 5n \\).
• Questions 1 à 3 : Il faut d'abord valider les calculs intermédiaires de l'élève (termes initiaux et finaux). Ensuite, on est guidé par une observation clé : la suite est à termes entiers, donc sa somme doit être un entier. Le résultat de l'élève (1045,5) est un nombre décimal, ce qui prouve l'existence d'une erreur sans même refaire le calcul. L'erreur à identifier est classique : un mauvais décompte du nombre de termes dans la somme. Il y a \\( 20 - 3 + 1 = 18 \\) termes, et non \\( 20 - 3 = 17 \\).
• Question 4 : La dernière question demande de rédiger le calcul correct de la somme \\( S \\) en utilisant la bonne valeur pour le nombre de termes.

En conclusion, ce contrôle de maths de Terminale STI2D est un sujet complet et équilibré qui aborde toutes les compétences essentielles sur les suites numériques. Il mêle calculs directs, modélisation et raisonnement critique.