Ce document présente un sujet de contrôle de mathématiques de niveau Terminale STI2D, entièrement dédié au chapitre de la fonction logarithme. D'une durée d'une heure, cette évaluation avec calculatrice autorisée est un excellent outil de révision pour les élèves. Elle est structurée en trois exercices distincts qui balayent les compétences clés du chapitre, allant des propriétés fondamentales à des applications concrètes.

Exercice 1 : Vrai ou Faux sur les Propriétés du Logarithme

Ce premier exercice est un QCM de type Vrai/Faux où chaque réponse doit être rigoureusement justifiée. Il vise à évaluer la maîtrise des propriétés de base de la fonction logarithme népérien.

• Question 1 : L'affirmation \(\ln(a) + \ln(b) = \ln(ab)\) pour des réels \(a\) et \(b\) strictement positifs est testée. Il s'agit de la relation fonctionnelle fondamentale du logarithme, transformant un produit en somme.
• Question 2 : Cette question piège les élèves en proposant une fausse propriété : \(\ln(a + b) = \ln(a) \times \ln(b)\). La justification attendue est un contre-exemple simple, montrant l'importance de ne pas inventer de règles de calcul.
• Question 3 : La connaissance de l'ensemble de définition de la fonction logarithme est ici primordiale. L'affirmation "la fonction est définie sur \(\mathbb{R}\)" est fausse, et il faut rappeler que son domaine est \(]0, +\infty[\).
• Question 4 : Cette question porte sur le signe de \(\ln(x)\). Il faut savoir que pour tout \(x \in ]0, 1[\), \(\ln(x)\) est strictement négatif, une propriété qui se visualise bien sur la courbe représentative de la fonction.

Exercice 2 : Transformations et Résolutions

Cet exercice se compose de cinq questions indépendantes qui mettent en pratique les techniques de calcul et de résolution d'équations et inéquations impliquant les fonctions logarithme et exponentielle.

• Questions 1 et 2 : Il s'agit d'appliquer les formules algébriques du logarithme pour simplifier des expressions. Par exemple, transformer \(\ln(8) - \ln(2)\) en utilisant la formule \(\ln(a) - \ln(b) = \ln(a/b)\), et \(2\ln(3) + \ln(5)\) en utilisant \(n\ln(a) = \ln(a^n)\) et la formule de la somme.
• Question 3 : Résolution de l'équation exponentielle \(e^{3x} = 5\). Cette question teste la compréhension de la relation inverse entre logarithme et exponentielle. La solution est obtenue en appliquant la fonction \(\ln\) des deux côtés de l'égalité.
• Question 4 : Résolution de l'inéquation \(\ln(x) > 3\). Symétriquement à la question précédente, il faut ici appliquer la fonction exponentielle (qui est croissante) pour isoler \(x\).
• Question 5 : Il est demandé de calculer la dérivée de la fonction \(f(x) = x \ln(x)\). Cet exercice de dérivation nécessite l'application de la formule de la dérivée d'un produit \((uv)' = u'v + uv'\), un classique des études de fonctions.

Exercice 3 : Un Tableur pour Compter les Chiffres

Cet dernier exercice, plus original, propose une mise en situation concrète utilisant le logarithme décimal (noté \(\log\)) dans le contexte d'un tableur. L'objectif est de vérifier et d'utiliser la propriété selon laquelle le nombre de chiffres d'un entier \(n \geq 1\) est donné par la formule \([\log(n)] + 1\), où \([]\) désigne la partie entière.

Les questions amènent l'élève à :

• Vérifier la formule pour des nombres simples comme 100 et 1000.
• Compléter un tableau de calcul pour des nombres plus grands comme un million ou 4096.
• Analyser la logique d'un tableur, en comprenant comment les formules sont recopiées.
• Faire preuve d'esprit critique en analysant une proposition de formule alternative (utilisant la fonction ARRONDI au lieu de ENT) et en montrant pourquoi elle ne fonctionne pas dans tous les cas.

En résumé, ce contrôle corrigé de maths pour Terminale STI2D est un sujet complet sur la fonction logarithme. Il prépare efficacement les élèves en testant à la fois les connaissances théoriques, les compétences calculatoires, la résolution de problèmes et l'application dans un contexte numérique.