Découvrez un sujet de contrôle complet pour les élèves de Terminale STI2D, axé sur les chapitres fondamentaux des fonctions logarithme et exponentielle. Ce sujet, accompagné de son corrigé, est un excellent outil de révision pour préparer les examens. Il aborde des applications concrètes, notamment le phénomène de la décroissance radioactive, permettant de lier les concepts mathématiques à des situations physiques réelles.

Le contrôle est structuré en deux exercices principaux, conçus pour évaluer la compréhension des propriétés des fonctions exponentielles, la résolution d'équations et d'inéquations, ainsi que l'étude de fonctions complètes (dérivée, sens de variation, limites).

Exercice 1 : La notice et le technicien (6 points)

Cet exercice d'introduction met en situation l'élève face à un problème concret de décroissance radioactive de l'iode 131. Il s'agit d'analyser et de critiquer deux documents : une notice technique et une note rédigée par un technicien. L'objectif est de confronter un raisonnement intuitif mais erroné à la rigueur du modèle mathématique de la demi-vie.

• Question 1 : Il est demandé de calculer l'activité de la source radioactive après une puis deux demi-vies (8,02 jours et 16,04 jours). Cette question teste la compréhension directe de la définition de la demi-vie, qui correspond à une division de la quantité par deux. L'activité initiale étant de 400 MBq, on s'attend à trouver 200 MBq puis 100 MBq. Cela s'apparente au calcul des termes d'une suite géométrique de raison 0,5.
• Question 2 : L'élève doit évaluer la validité du raisonnement du technicien, qui conclut à une perte d'activité de 100% après deux demi-vies. Le calcul précédent montre que ce raisonnement est incorrect.
• Question 3 : Il s'agit d'expliquer l'erreur fondamentale commise : l'addition des pourcentages de perte (50% + 50%) est fausse car la seconde perte de 50% s'applique à l'activité restante, et non à l'activité initiale. C'est une question de raisonnement sur les pourcentages et la nature non-linéaire de la décroissance exponentielle.
• Question 4 : L'élève doit faire preuve de ses capacités de rédaction et de synthèse en proposant une note corrigée, expliquant ce qu'il advient réellement de la source après deux semaines.

Exercice 2 : Décroissance d'une source radioactive (14 points)

Le second exercice, plus long et plus technique, approfondit l'étude de la même source radioactive en utilisant un modèle mathématique explicite. L'activité \(A\) au temps \(t\) (en jours) est donnée par la fonction \(A(t) = 400 e^{-kt}\), où \(k\) est une constante positive. Cet exercice est un cas d'école de l'étude d'une fonction exponentielle.

Partie A – Déterminer la constante

• Question 1 : Une vérification simple : justifier que \(A(0) = 400\), ce qui se fait en remplaçant \(t\) par 0 dans l'expression (\(e^0 = 1\)).
• Question 2 : La compétence de modélisation est testée ici. Il faut traduire l'information de la demi-vie (8,02 jours) en une équation mathématique : \(A(8,02) = \frac{A(0)}{2}\), soit \(400 e^{-k \times 8,02} = 200\).
• Question 3 : Cette question demande de résoudre l'équation précédente pour trouver la valeur de \(k\). Cela nécessite l'utilisation de la fonction logarithme népérien pour isoler l'inconnue dans l'exposant. On doit aboutir à la formule \(k = \frac{\ln(2)}{8,02}\) et en donner une valeur approchée. C'est une application directe de la compétence "Résoudre des équations avec ln et exponentielle".

Partie B – Étude et exploitation

• Question 4 : Il s'agit d'une étude de fonction classique. L'élève doit calculer la dérivée \(A'(t) = -400k e^{-kt}\) (application de la dérivation des fonctions composées avec l'exponentielle), déterminer son signe (strictement négatif) et en déduire le sens de variation de la fonction \(A\) (strictement décroissante). L'interprétation physique est que l'activité radioactive diminue au fil du temps.
• Question 5 : Un calcul d'image simple : déterminer \(A(30)\) à la calculatrice.
• Question 6 : Cette question consiste à résoudre l'inéquation \(A(t) < 40\) pour déterminer à partir de quand la source est considérée comme inutilisable. La résolution fait de nouveau appel au logarithme népérien, et met en jeu la compétence "Résolution d'inéquation avec exponentielle".
• Question 7 : Il est demandé de calculer la limite de la fonction \(A(t)\) en \(+\infty\). On doit trouver que \(\lim_{t \to +\infty} A(t) = 0\). La question subsidiaire sur la nullité de l'activité permet de vérifier la compréhension fine de la fonction exponentielle (elle tend vers 0 sans jamais l'atteindre).

Partie C – Comparer deux sources

• Question 8 : Cette question ouverte et plus théorique demande de généraliser un résultat. Il faut démontrer que pour toute source de demi-vie \(T\), le temps nécessaire pour que l'activité tombe à 10% de sa valeur initiale est proportionnel à \(T\), avec un facteur de proportionnalité \(\frac{\ln(10)}{\ln(2)}\). La démarche est une résolution d'équation paramétrique. Il faut ensuite appliquer ce résultat pour une nouvelle source. Cette question valorise l'autonomie et la capacité à généraliser.

En résumé, ce sujet est un excellent entraînement qui balaye de nombreuses compétences clés du programme de Terminale STI2D sur les fonctions exponentielle et logarithme, en les appliquant à un contexte pertinent et motivant.