Découvrez le corrigé détaillé d'un contrôle de mathématiques pour la classe de Terminale Spécialité. Ce sujet, d'une durée d'1h50 et sans calculatrice, est un excellent entraînement pour le baccalauréat. Il balaye des chapitres fondamentaux du programme : les suites numériques (raisonnement par récurrence, limites, suites arithmético-géométriques), la géométrie dans l'espace avec les vecteurs, droites et plans, ainsi que l'étude de fonctions incluant la dérivation et la convexité.

Ce corrigé pas à pas vous permettra de consolider vos connaissances et de maîtriser les méthodes de résolution indispensables. Chaque question est analysée en profondeur pour vous aider à comprendre les raisonnements clés.

Exercice 1 : Vrai ou Faux avec justification (2,5 points)

Cet exercice teste votre capacité à analyser rapidement des affirmations et à fournir une justification mathématique rigoureuse.

• Affirmation 1 : On étudie la limite d'une suite \((u_n)\) encadrée par \(\frac{1}{2} \le u_n \le \frac{3n^2 + 4n + 7}{6n^2 + 1}\). Pour déterminer si \(\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{1}{2}\), il faut appliquer le théorème des gendarmes. On calcule d'abord la limite de la borne supérieure : \( \lim_{n \to +\infty} \frac{3n^2 + 4n + 7}{6n^2 + 1} = \lim_{n \to +\infty} \frac{3n^2}{6n^2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \). Comme la suite \((u_n)\) est encadrée par deux suites qui tendent vers \(\frac{1}{2}\), sa limite est bien \(\frac{1}{2}\). L'affirmation est donc vraie.
• Affirmation 2 : On nous donne la courbe représentative de la dérivée \(h'\) d'une fonction \(h\). Pour savoir si \(h\) est convexe sur l'intervalle \([-1; 3]\), il faut étudier les variations de \(h'\). Une fonction est convexe si sa dérivée est croissante. En observant le graphique, on constate que la courbe \(C_{h'}\) est strictement croissante sur l'intervalle \([-1; 3]\). Par conséquent, la fonction \(h\) est bien convexe sur cet intervalle. L'affirmation est vraie.

Exercice 2 : Étude d'une suite arithmético-géométrique (4,5 points)

Cet exercice classique porte sur une suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 3\) et \(u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + n + 2\). Ce n'est ni une suite arithmétique, ni une suite géométrique.

• 1. Limites par encadrement : En utilisant l'encadrement admis \(2n \le u_n \le 2n + 3\), on utilise le théorème de comparaison pour montrer que \(\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty\), car \(\lim_{n \to +\infty} 2n = +\infty\). Ensuite, pour prouver que \(\lim_{n \to +\infty} \frac{u_n}{n} = 2\), on divise l'inégalité par \(n\) (pour \(n>0\)) : \(2 \le \frac{u_n}{n} \le 2 + \frac{3}{n}\). Le théorème des gendarmes permet de conclure.
• 2. Utilisation d'une suite auxiliaire : On introduit la suite \((v_n)\) définie par \(v_n = u_n - 2n\).
  • On démontre que \((v_n)\) est une suite géométrique en exprimant \(v_{n+1}\) en fonction de \(v_n\). On trouve \(v_{n+1} = \frac{1}{2}v_n\). La raison est donc \(q=\frac{1}{2}\) et le premier terme est \(v_0 = u_0 - 2(0) = 3\).
  • On en déduit l'expression explicite de \(v_n = 3 \left(\frac{1}{2}\right)^n\), puis celle de \(u_n = v_n + 2n = 3 \left(\frac{1}{2}\right)^n + 2n\).
  • Enfin, on utilise cette expression pour retrouver la limite de \((u_n)\), en utilisant la limite d'une suite géométrique de raison comprise entre -1 et 1.

Exercice 3 : Étude d'une suite récurrente \(u_{n+1}=f(u_n)\) (5 points)

Cet exercice très complet analyse une suite définie par \(u_0 = \frac{1}{2}\) et \(u_{n+1} = f(u_n)\) avec \(f(x) = \frac{2x+2}{x+3}\).

• 1. Étude de la fonction associée : On étudie d'abord les variations de \(f\) sur \([0; +\infty[\) en calculant sa dérivée \(f'(x) = \frac{4}{(x+3)^2}\). Son signe positif nous indique que \(f\) est strictement croissante.
• 2. Raisonnement par récurrence : C'est le cœur de l'exercice. On doit démontrer par récurrence que pour tout \(n\), on a \(0 \le u_n \le u_{n+1} \le 1\). L'initialisation se vérifie pour \(n=0\). Pour l'hérédité, on suppose la propriété vraie au rang \(n\) et on utilise la croissance de la fonction \(f\) pour la démontrer au rang \(n+1\).
• 3. Convergence de la suite : La récurrence a montré que la suite \((u_n)\) est croissante et majorée (par 1). Le théorème de la limite monotone assure qu'elle converge vers une limite finie \(l\). Cette limite est un point fixe de \(f\), c'est-à-dire une solution de l'équation \(f(l)=l\). La résolution de cette équation du second degré donne \(l=1\) comme seule solution possible dans l'intervalle \([0, 1]\).
• 4. Étude d'une somme : On définit \(S_n = \sum_{k=0}^n u_k\). En utilisant le fait que \(u_k \ge u_0 = 1/2\) pour tout \(k\), on montre que \(S_n \ge \frac{n+1}{2}\), ce qui permet de conclure par comparaison que la suite \((S_n)\) diverge vers \(+\infty\).

Exercice 4 : Géométrie dans l'espace (4 points)

Cet exercice porte sur l'analyse de positions relatives de points, droites et plans dans un cube ABCDEFGH, en se plaçant dans le repère \((A; \vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE})\).

• 1. Coordonnées de points : On détermine les coordonnées des points \(I, J, K\), milieux respectifs des segments \([EF]\), \([BC]\) et \([AE]\).
• 2. Position relative de deux droites : On étudie les droites \((AI)\) et \((KH)\). On montre d'abord qu'elles ne sont pas parallèles en vérifiant que leurs vecteurs directeurs \(\vec{AI}\) et \(\vec{KH}\) ne sont pas colinéaires. Ensuite, on détermine si elles sont sécantes en résolvant le système d'équations issu de leurs représentations paramétriques. Le système n'ayant pas de solution, les droites sont non coplanaires (gauches).
• 3. Coplanarité et déduction : On montre que les vecteurs \(\vec{IJ}\), \(\vec{AC}\) et \(\vec{AE}\) sont coplanaires en montrant que \(\vec{IJ}\) est une combinaison linéaire des deux autres. Comme le plan \((ACE)\) est dirigé par \(\vec{AC}\) et \(\vec{AE}\), on en déduit que la droite \((IJ)\) est parallèle au plan \((ACE)\).

Exercice 5 : Étude de fonction, convexité et tangente (4 points)

Ce dernier exercice est une analyse de fonction complète, mêlant exponentielle, dérivation, convexité et position relative d'une courbe et de sa tangente.

• 1. Variations de la fonction : On étudie la fonction \(f(x) = \frac{e^x}{x-1}\) sur \(]-\infty; 1[\). On calcule sa dérivée \(f'(x) = \frac{(x-2)e^x}{(x-1)^2}\) et on dresse son tableau de variations. La fonction se révèle être strictement décroissante sur son intervalle de définition.
• 2. Convexité et tangente :
  • On étudie la convexité de \(f\) en utilisant le signe de sa dérivée seconde \(f''(x)\), dont l'expression est donnée. On montre que \(f''(x) < 0\) sur \(]-\infty; 1[\), ce qui signifie que la fonction \(f\) est concave.
  • On détermine l'équation de la tangente \(T\) à la courbe au point d'abscisse 0, qui est \(y = -2x - 1\).
  • Finalement, on utilise la concavité de la fonction. Une fonction concave est située en dessous de toutes ses tangentes. Ainsi, pour tout \(x \in ]-\infty; 1[\), on a \(f(x) \le -2x - 1\). En remplaçant \(f(x)\) par son expression et en multipliant par \((x-1)\) (qui est négatif, donc on change le sens de l'inégalité), on aboutit à la relation demandée : \(e^x \ge (-2x-1)(x-1)\).