14. Suite arithmético-géométrique

Introduction

Cet exercice est crucial car je vous garantis que vous l'aurez au contrôle et il vaut au moins six points. Dans ce type d'exercice, on ne va pas attaquer tout de suite. En fait, on va vous raconter une petite histoire. Par exemple, je gère un barrage, j'accumule 5000 litres d'eau par jour, mais je perds 3 % de mon eau par évaporation, etc. Vous allez arriver à une suite qui ressemble à ça. On va vous demander si cette suite est arithmétique ou géométrique. Ensuite, on va voir comment on va vous rajouter une autre suite. À partir de cela, vous allez montrer qu'elle est géométrique, vous allez en déduire \(v_n\) et vous allez en déduire \(u_n\). Le but final est de dégager une suite qui est définie de manière récurrente ou explicite.

Identification de la suite

Pour identifier si la suite est géométrique ou arithmétique, vous pouvez vous demander si vous passez du terme précédent au terme suivant en multipliant par un certain nombre (ce qui indiquerait une suite géométrique) ou en ajoutant un certain nombre (ce qui indiquerait une suite arithmétique). En fait, cette suite n'est ni arithmétique ni géométrique, elle est "arithmétrique" ou "géométrique".

Introduction d'une deuxième suite

On en arrive à notre deuxième suite \(v_n\) qui vaut \(n \cdot u_n + 2\). Il serait trop beau que cette suite soit arithmétique, mais il faut montrer que \(v_n\) est géométrique. Pour montrer qu'une suite est géométrique, je pars de \(v_{n+1}\), je travaille, et à la fin, il faut que j'obtienne quelque chose de la forme \(k \cdot v_n\), avec \(k\) qui est un nombre réel.

Démonstration de la géométrie de la suite

Pour démontrer que la suite est géométrique, on utilise les formules \(v_{n+1} = u_{n+1} + 2\) et \(u_{n+1} = 3 \cdot u_n + 4\). En remplaçant \(u_{n+1}\) par \(3 \cdot u_n + 4\) dans la première formule, on obtient \(v_{n+1} = 3 \cdot u_n + 6\). Ensuite, on utilise la formule \(v_n = u_n + 2\) pour exprimer \(u_n\) en fonction de \(v_n\), ce qui donne \(u_n = v_n - 2\). En remplaçant \(u_n\) par \(v_n - 2\) dans la formule précédente, on obtient \(v_{n+1} = 3 \cdot (v_n - 2) + 6\), ce qui est de la forme \(k \cdot v_n\), avec \(k = 3\). On peut donc dire que la suite est géométrique de raison 3.

Expression de la suite en fonction de \(n\)

On peut ensuite exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\) en utilisant la formule de la suite géométrique : \(v_n = v_0 \cdot 3^n\). Enfin, on peut exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\) en utilisant la formule \(u_n = v_n - 2\), ce qui donne \(u_n = 3^n - 2\). Cet exercice est complexe et nécessite de bien comprendre les suites arithmétiques et géométriques. Il est crucial de s'entraîner à le résoudre, car il est très probable qu'un exercice similaire apparaisse dans votre contrôle.