9. Savoir si deux vecteurs de l'espace sont colinéaires

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir une compétence très simple : comment savoir si deux vecteurs dans l'espace sont collinaires, c'est-à-dire si des couples de vecteurs avec une, deux et trois coordonnées sont collinaires en regardant les coordonnées. On s'y met tout de suite. Gardez bien en tête que quand vous étiez en seconde et vous l'avez aussi utilisé en première, quand vous aviez des vecteurs dans le plan \(C\) avec deux coordonnées, vous aviez une technique très brutale pour savoir s'ils étaient collinaires. C'était le calcul du déterminant dont vous mettiez les coordonnées, par exemple \(3, 2\) et \(6, 4\). Vos calculs étaient ceux-ci : la fois cela, la fois cela, donc ça faisait \(3 \times 4 = 12\) - \(2 \times 6 = 12\) et si ça faisait zéro, ces vecteurs étaient collinaires.

Limitations de la méthode du déterminant

Ça, c'est plus possible en terminale parce que le vecteur a maintenant 3 coordonnées en réalité. Donc cette technique ne marche pas. Il y a un déterminant dans l'espace que vous verrez l'année prochaine et qui est beaucoup plus compliqué, mais qui nous permet de savoir rapidement si les vecteurs sont collinéaires. Enfin, rapidement, tout est relatif. En plus, rapidement de savoir si des vecteurs sont collinéaires, comment est-ce qu'on fait en attendant ?

Méthode des vecteurs proportionnels

On utilise la bonne vieille technique qui stipule que si \(u\) et \(v\) sont collinaires, ça veut dire que \(u\) est égal à quelque chose, par exemple \(k\) fois \(v\). Donc que ces deux vecteurs sont proportionnels, donc que les coordonnées sont proportionnelles. Donc ça veut dire que \(2\) est égal à \(4 \times k\), \(1\) est égal à \(4 \times k\), et \(5\) est égal à \(k \times -10\). Donc comment est-ce qu'on va savoir si on peut trouver un vecteur, un réel \(k\) tels que les coordonnées de \(u\) soient égales à \(4\) fois celles de \(v\) ? Bah, on va tous les diviser : \(6 / 2\), on va vérifier si c'est égal à \(2 / 1\), mais est-ce que ça, c'est égal à \(-10 / -5\) ? En l'occurrence, oui, tout ça, ça me fait \(2\). \(6 / 2\), ben non, pas du tout, non, non, ça ne marche pas, c'est énergique. En fait, ce vecteur, vu que \(6 / 2\) ça me fait \(3\), que \(2 / 1\) ça fait \(2\), et que \(-10 / -5\) ça me fait \(2\), par rapport à \(3\), \(2\) et \(2\), les vecteurs ne sont pas collinéaires. Si j'avais eu \(1, 2\) aussi, les vecteurs auraient été collinéaires. C'est une erreur courante, mais ce n'est pas grave, on continue, c'est le joie du direct. Deuxième cas pour vérifier si des vecteurs sont collinéaires, il y a un cas qui est très simple, c'est quand il y en a un qui est nul. D'un côté, vous aurez beau prendre un nombre aussi grand que vous voudrez, vous ne transformerez jamais \(1, 0\) en \(2\) avec la multiplication. Du coup, si pour les deux vecteurs, il y a un couple de coordonnées où on a un qui est nul et pas l'autre, on peut dire directement qu'ils ne sont pas collinéaires. On vous a mis des petits exercices en dessous, ça joue très fortement pour le chapitre qui va suivre, c'est-à-dire les équations paramétriques. On va s'en servir à bloc, faites des exercices pour vous l'entrer dans la tête. À vous de jouer, vous êtes des champions !